Somma di Cesàro

In matematica, e più precisamente in analisi, la somma di Cesàro è una definizione alternativa di somma di una serie, che coincide con quella usuale quando la serie è convergente. Fu introdotta dal matematico Ernesto Cesàro alla fine del secolo XIX.

Definizione

Data una serie

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

con somme parziali

$s_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n}$$s_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n}$

la somma di Cesàro è il limite (quando esiste) delle medie aritmetiche delle somme parziali

$\lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\ldots +s_{n}}{n}}$$\lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\ldots +s_{n}}{n}}$

Teorema della media di Cesaro

Il teorema delle medie di Cesaro permette di calcolare il limite della successione delle medie di una successione $a_{n}$$a_{n}$, noto il limite di $a_{n}$$a_{n}$. La successione delle medie di $a_{n}$$a_{n}$ si definisce come:

$\sigma _{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}.$$\sigma _{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}.$

Il teorema della media di Cesaro afferma che

$\lim _{n\to \infty }\sigma _{n}=\lim _{n\to \infty }a_{n}.$$\lim _{n\to \infty }\sigma _{n}=\lim _{n\to \infty }a_{n}.$

Dimostrazione

Ponendo ${\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sigma _{n}$${\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sigma _{n}$ e $l=\lim _{n\to \infty }a_{n}$$l=\lim _{n\to \infty }a_{n}$ si ha che

$|\sigma _{n}-l|=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-l\right|=\left|{\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{k}-nl}{n}}\right|.$$|\sigma _{n}-l|=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-l\right|=\left|{\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{k}-nl}{n}}\right|.$

Spezzando la sommatoria da $1$$1$ a ${\bar {n}}$${\bar {n}}$ e da ${\bar {n}}$${\bar {n}}$ a $n$$n$ si ha:

$\left|{\frac {\sum _{k=1}^{\bar {n}}a_{k}+\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}a_{k}-nl}{n}}\right|\forall n\geq {\bar {n}}=$$\left|{\frac {\sum _{k=1}^{\bar {n}}a_{k}+\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}a_{k}-nl}{n}}\right|\forall n\geq {\bar {n}}=$

$=\left|{\frac {\sum _{k=1}^{\bar {n}}a_{k}}{n}}+{\frac {\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}a_{k}-nl}{n}}\right|$$=\left|{\frac {\sum _{k=1}^{\bar {n}}a_{k}}{n}}+{\frac {\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}a_{k}-nl}{n}}\right|$

Essendo: $\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}a_{k}-nl=\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}a_{k}-(n-{\bar {n}})l-{\bar {n}}l=\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}(a_{k}-l)-{\bar {n}}l$$\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}a_{k}-nl=\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}a_{k}-(n-{\bar {n}})l-{\bar {n}}l=\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}(a_{k}-l)-{\bar {n}}l$

Allora:$|\sigma _{n}-l|=\left|{\frac {\sum _{k=1}^{\bar {n}}a_{k}}{n}}+{\frac {\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}(a_{k}-l)}{n}}-{\frac {{\bar {n}}l}{n}}\right|$$|\sigma _{n}-l|=\left|{\frac {\sum _{k=1}^{\bar {n}}a_{k}}{n}}+{\frac {\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}(a_{k}-l)}{n}}-{\frac {{\bar {n}}l}{n}}\right|$

Siccome:

• ${\frac {\sum _{k=1}^{\bar {n}}a_{k}}{N}}<\varepsilon {\mbox{ per }}{\bar {n}}\leq N{\mbox{ }}\forall \varepsilon >0;$${\frac {\sum _{k=1}^{\bar {n}}a_{k}}{N}}<\varepsilon {\mbox{ per }}{\bar {n}}\leq N{\mbox{ }}\forall \varepsilon >0;$

• ${\frac {\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}(a_{k}-l)}{n}}\leq {\frac {1}{n}}\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}\varepsilon =\varepsilon \cdot {\frac {n-{\bar {n}}}{n}}=\varepsilon {\mbox{ per }}n\to \infty ;$${\frac {\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}(a_{k}-l)}{n}}\leq {\frac {1}{n}}\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}\varepsilon =\varepsilon \cdot {\frac {n-{\bar {n}}}{n}}=\varepsilon {\mbox{ per }}n\to \infty ;$

• ${\frac {{\bar {n}}l}{n}}<\varepsilon {\mbox{ }}\forall \varepsilon >0{\mbox{ e }}n>N.$${\frac {{\bar {n}}l}{n}}<\varepsilon {\mbox{ }}\forall \varepsilon >0{\mbox{ e }}n>N.$

Allora, per l'arbitrarietà di $\varepsilon$$\varepsilon$ si ha

$\forall \varepsilon >0\exists {\bar {n}}\in \mathbb {N} :\left|\sigma _{n}-l\right|<\varepsilon \forall n>{\bar {n}}.$$\forall \varepsilon >0\exists {\bar {n}}\in \mathbb {N} :\left|\sigma _{n}-l\right|<\varepsilon \forall n>{\bar {n}}.$

Cioè $(\sigma _{n})\to l{\mbox{ se }}(a_{n})\to l.$$(\sigma _{n})\to l{\mbox{ se }}(a_{n})\to l.$

Proprietà

Se la serie è convergente, la somma di Cesàro coincide con la somma della serie; la somma di Cesàro infatti non dipende da alcuna somma parziale di indice finito. Questo significa formalmente che, per $n$$n$ tendente all'infinito

${\frac {s_{1}+\ldots +s_{n}}{n}}\approx {\frac {s_{1}+\ldots +s_{m}}{n}}+{\frac {s_{m+1}+\ldots +s_{n}}{n-m}}\approx {\frac {s_{m+1}+\ldots +s_{n}}{n-m}}$${\frac {s_{1}+\ldots +s_{n}}{n}}\approx {\frac {s_{1}+\ldots +s_{m}}{n}}+{\frac {s_{m+1}+\ldots +s_{n}}{n-m}}\approx {\frac {s_{m+1}+\ldots +s_{n}}{n-m}}$

per ogni intero $m$$m$ finito. L'operazione svolta dunque è quella di mediare solo le somme delle serie di indice molto elevato: se la serie converge è evidente che il risultato sarà semplicemente la somma infinita della serie. La somma di Cesàro è però definita anche per alcune serie non convergenti; ad esempio, se

$a_{n}=(-1)^{n}$$a_{n}=(-1)^{n}$

la serie non converge, ma le medie aritmetiche convergono a -0.5. Si osserva infatti immediatamente che la somma di Cesàro n-esima in questo caso è data da

$\left\{{\begin{matrix}-{\frac {n+1}{2n}}&{\mbox{per }}n{\mbox{ dispari}}\\\\-{\frac {1}{2}}&{\mbox{per }}n{\mbox{ pari}}\end{matrix}}\right.$$\left\{{\begin{matrix}-{\frac {n+1}{2n}}&{\mbox{per }}n{\mbox{ dispari}}\\\\-{\frac {1}{2}}&{\mbox{per }}n{\mbox{ pari}}\end{matrix}}\right.$

il limite è in un certo senso il valor medio della successione delle somme parziali.

Questo teorema può essere ricavato dal teorema di Stolz-Cesàro ponendo $a_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mbox{ e }}b_{n}=n$$a_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mbox{ e }}b_{n}=n$

Bibliografia

• (EN) Bruce Watson, Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford University Press, New York, 1994. ISBN 0-19-853585-6

Voci correlate

• Somma di Hölder