Somma di Cesàro

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In matematica, e più precisamente in analisi, la somma di Cesàro è una definizione alternativa di somma di una serie, che coincide con quella usuale quando la serie è convergente. Fu introdotta dal matematico Ernesto Cesàro alla fine del secolo XIX.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Data una serie

\sum_{n=1}^\infty a_n

con somme parziali

s_n = a_1 + \ldots + a_n

la somma di Cesàro è il limite (quando esiste) delle medie aritmetiche delle somme parziali

\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \ldots + s_n}{n}

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Ponendo: \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k = \sigma_n

|\sigma_n-l|=\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k - l\right|=\left|\frac{\sum_{k=1}^n a_k - nl}{n}\right|

Spezzando la sommmatoria da 1 a \bar n e da \bar n a n si ha:

\left |\frac {\sum_{k=1}^\bar n a_k + \sum_{k=\bar n +1}^n a_k - nl}{n} \right| \forall n \ge \bar n =

=\left |\frac{\sum_{k=1}^\bar n a_k}{n} +\frac{\sum_{k=\bar n +1}^n a_k - nl}{n} \right|

Essendo: \sum_{k=\bar n + 1}^n a_k - nl = \sum_{k=\bar n + 1}^n a_k - (\bar n - n)l - \bar nl = \sum_{k=\bar n + 1}^n (a_k - l) - \bar nl

Allora: |\sigma_n - l|= \left| \frac{\sum_{k=1}^\bar n a_k}{n} + \frac{\sum_{k=\bar n + 1}^n a_k}{n} - \frac{\bar nl}{n} \right|

Siccome:

I)\frac {\sum_{k=1}^\bar n a_k}{N} < \varepsilon \mbox{ per } \bar n \le N \mbox{ }\forall \varepsilon>0

II)\frac{\sum_{k=\bar n + 1}^n (a_k - l)}{n} \le \frac{1}{n}\sum_{k=\bar n + 1}^n \varepsilon = \varepsilon \cdot \frac {n - \bar n}{n} =\varepsilon \mbox{ per } n\to\infty

III)\frac{\bar nl}{n} < \varepsilon\mbox{ } \forall  \varepsilon > 0\mbox{ e } n > N

Allora, per l'arbitrarietà di \varepsilon

\forall \varepsilon>0 \exist \bar n \in \mathbb{N} :\left|\sigma_n - l \right|<\varepsilon \forall n>\bar n

Cioé (\sigma_n)\to l \mbox{ se } (a_n)\to l


Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Se la serie è convergente, la somma di Cesàro coincide con la somma della serie; la somma di Cesàro infatti non dipende da alcuna somma parziale di indice finito. Questo significa formalmente che, per n tendente all'infinito

\frac{s_1 + \ldots + s_n}{n} \approx \frac{s_1 + \ldots + s_m}{n} + \frac{s_{m+1} + \ldots + s_n}{n-m} \approx \frac{s_{m+1} + \ldots + s_n}{n-m}

per ogni intero m finito. L'operazione svolta dunque è quella di mediare solo le somme delle serie di indice molto elevato: se la serie converge è evidente che il risultato sarà semplicemente la somma infinita della serie. La somma di Cesàro è però definita anche per alcune serie non convergenti; ad esempio, se

a_n = (-1)^n

la serie non converge, ma le medie aritmetiche convergono a -0.5. Si osserva infatti immediatamente che la somma di Cesàro n-esima in questo caso è data da

\left\{

\begin{matrix}
-\frac{n+1}{2n} & \mbox{per }n\mbox{ dispari} \\\\
-\frac{1}{2} & \mbox{per }n\mbox{ pari}

\end{matrix}\right.

il limite è in un certo senso il valor medio della successione delle somme parziali.

Questo teorema può essere ricavato dal teorema di Stolz-Cesàro ponendo a_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k \mbox{ e } b_n =n

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Bruce Watson, Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford University Press, New York, 1994. ISBN 0-19-853585-6

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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