Somma di Cesaro

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In matematica, e più precisamente in analisi, la somma di Cesàro è una definizione alternativa di somma di una serie, che coincide con quella usuale quando la serie è convergente. Fu introdotta dal matematico Ernesto Cesàro alla fine del secolo XIX.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Data una serie

con somme parziali

la somma di Cesàro è il limite (quando esiste) delle medie aritmetiche delle somme parziali

Teorema della media di Cesaro[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema delle medie di Cesaro permette di calcolare il limite della successione delle medie di una successione , noto il limite di . La successione delle medie di si definisce come:

Il teorema della media di Cesaro afferma che se ammette limite, allora

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Ponendo e si ha che

Spezzando la sommatoria da a e da a si ha:

Essendo:

Allora:

Siccome:

Allora, per l'arbitrarietà di si ha

Cioè

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Se la serie è convergente, la somma di Cesàro coincide con la somma della serie; la somma di Cesàro infatti non dipende da alcuna somma parziale di indice finito. Questo significa formalmente che, per tendente all'infinito

per ogni intero finito. L'operazione svolta dunque è quella di mediare solo le somme delle serie di indice molto elevato: se la serie converge è evidente che il risultato sarà semplicemente la somma infinita della serie. La somma di Cesàro è però definita anche per alcune serie non convergenti; ad esempio, se

la serie non converge, ma le medie aritmetiche convergono a -0.5. Si osserva infatti immediatamente che la somma di Cesàro n-esima in questo caso è data da

il limite è in un certo senso il valor medio della successione delle somme parziali.

Questo teorema può essere ricavato dal teorema di Stolz-Cesàro ponendo

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Bruce Watson, Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford University Press, New York, 1994. ISBN 0-19-853585-6

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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