Somma di Cesàro

In matematica, e più precisamente in analisi, la somma di Cesàro è una definizione alternativa di somma di una serie, che coincide con quella usuale quando la serie è convergente. Fu introdotta dal matematico Ernesto Cesàro alla fine del secolo XIX.

Definizione

Data una serie

$\sum_{n=1}^\infty a_n$

con somme parziali

$s_n = a_1 + \ldots + a_n$

la somma di Cesàro è il limite (quando esiste) delle medie aritmetiche delle somme parziali

$\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \ldots + s_n}{n}$

Proprietà

Se la serie è convergente, la somma di Cesàro coincide con la somma della serie; la somma di Cesàro infatti non dipende da alcuna somma parziale di indice finito. Questo significa formalmente che, per $n$ tendente all'infinito

$\frac{s_1 + \ldots + s_n}{n} \approx \frac{s_1 + \ldots + s_m}{n} + \frac{s_{m+1} + \ldots + s_n}{n-m} \approx \frac{s_{m+1} + \ldots + s_n}{n-m}$

per ogni intero $m$ finito. L'operazione svolta dunque è quella di mediare solo le somme delle serie di indice molto elevato: se la serie converge è evidente che il risultato sarà semplicemente la somma infinita della serie. La somma di Cesàro è però definita anche per alcune serie non convergenti; ad esempio, se

$a_n = (-1)^n$

la serie non converge, ma le medie aritmetiche convergono a -0.5. Si osserva infatti immediatamente che la somma di Cesàro n-esima in questo caso è data da

$\left\{ \begin{matrix} -\frac{n+1}{2n} & \mbox{per }n\mbox{ dispari} \\\\ -\frac{1}{2} & \mbox{per }n\mbox{ pari} \end{matrix}\right.$

il limite è in un certo senso il valor medio della successione delle somme parziali.

Bibliografia

• (EN) Bruce Watson, Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford University Press, New York, 1994. ISBN 0-19-853585-6

Voci correlate

• Somma di Hölder