In matematica, e più precisamente in analisi, la somma di Cesàro è una definizione alternativa di somma di una serie, che coincide con quella usuale quando la serie è convergente. Fu introdotta dal matematicoErnesto Cesaro alla fine del secolo XIX.
Il teorema delle medie di Cesaro permette di calcolare il limite della successione delle medie di una successione , noto il limite di .
La successione delle medie di si definisce come:
Il teorema della media di Cesaro afferma che se ammette limite, allora
Se la serie è convergente, la somma di Cesàro coincide con la somma della serie; la somma di Cesàro infatti non dipende da alcuna somma parziale di indice finito. Questo significa formalmente che, per tendente all'infinito
per ogni intero finito. L'operazione svolta dunque è quella di mediare solo le somme delle serie di indice molto elevato: se la serie converge è evidente che il risultato sarà semplicemente la somma infinita della serie. La somma di Cesàro è però definita anche per alcune serie non convergenti; ad esempio, se
la serie non ammette limite - ma per convenzione si può considerare come valore limite quello medio delle due sottosuccessioni estratte, per n pari e per n dispari, che è -0,5 - e la somma di Cesàro -esima in questo caso è data da
il cui limite è 0. Questo esempio dimostra che il teorema di Cesàro non è invertibile.