Segnale analitico

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In matematica e teoria dei segnali, un segnale analitico è un segnale (in generale una funzione del tempo), ad esempio un segnale elettrico, che non possiede componenti a frequenza negativa. La rappresentazione analitica di una funzione (non correlata con la nozione di funzione analitica) consiste in una funzione complessa di frequenza positiva; ciò facilita spesso il trattamento e le manipolazioni matematiche sul segnale stesso. L'idea di base è che le componenti a frequenze negative dello spettro del segnale, cioè della trasformata di Fourier del segnale, possono essere trascurate a causa della proprietà di simmetria complessa coniugata (simmetria Hermitiana) dello spettro stesso: per un segnale reale la parte reale e il modulo della trasformata sono simmetrici rispetto all'origine (funzione pari), mentre la parte immaginaria e la fase sono antisimmetriche (dispari).

In questo modo trascurando metà dello spettro non vi è perdita di informazione. Tuttavia il segnale ricostruito antitrasformando il segnale analitico non è più un segnale reale, ma è un segnale complesso di variabile complessa, sebbene la conversione alla rispettiva funzione reale consista in pratica nell'eliminazione della sola parte immaginaria. Tale rappresentazione analitica rende certe caratteristiche del segnale più accessibili e facilita la derivazione delle tecniche di modulazione/demodulazione, specialmente a singola banda laterale (single-sideband).

La rappresentazione analitica è una generalizzazione della notazione dei fasori propria dell'elettrotecnica (notazione di Steinmetz): mentre quest'ultima è ristretta a segnali con ampiezza, fase e frequenza tempo-invarianti, la notazione analitica consente di avere parametri tempo-varianti ovvero non costanti.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un segnale o funzione a valori reali avente trasformata di Fourier , e sia è la funzione gradino di Heaviside. Allora la funzione:

contiene solo le componenti in frequenza non negative di . Raddoppiare in ampiezza lo spettro ha l'obiettivo di preservare il contenuto energetico del segnale originario stesso precedentemente esteso anche sul lato negativo (simmetrico) delle frequenze. L'operazione sopra esposta inoltre è reversibile, a causa della proprietà di hermitianità di :

La trasformata inversa di Fourier di è il segnale analitico dato dalla convoluzione:

dove è la trasformata di Hilbert di e è l'unità immaginaria.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Dato , per un parametro reale generico , la trasformata è:
e l'antitrasformata della trasformata privata di parte negativa è la rappresentazione analitica:
Si tratta di un segnale a valori complessi con fase crescente (frequenza positiva). Quanto detto segue anche dalla formula di Eulero che:
Quando si tratta con semplici sinusoidi o somma di sinusoidi si può dedurre direttamente, senza determinare prima .
  • Dato:
Si ha la rappresentazione analitica:
  • Sia , per un parametro reale generico . Si ha:

Parte negativa dello spettro[modifica | modifica wikitesto]

I segnali analitici sono spesso traslati in frequenza (conversione in discesa) verso la frequenza nulla (asse delle frequenze), cosa che crea componenti in frequenza negative non simmetriche. Una ragione di ciò è quella di consentire ai filtri passa-basso con coefficienti reali di essere usati per limitare l'ampiezza di banda del segnale. Un'altra ragione è ridurre le alte frequenze che a loro volta riducono la frequenza minima per il campionamento anti-aliasing. Una traslazione in frequenza non mina la trattabilità matematica della rappresentazione tramite segnale complesso. Così, in questo senso, il segnale convertito è ancora analitico. Ad ogni modo ripristinare la rappresentazione a valori reali del segnale non diventa più una semplice questione di estrazione del valore reale. La conversione verso l'alto è indubbiamente richiesta e se il segnale è stato campionato, l'interpolazione potrebbe anche essere necessaria per evitare l'aliasing.

Il complesso coniugato di un segnale analitico contiene solo componenti a frequenza negativa. In questo caso non c'è perdita di informazione e reversibilità scartando la parte immaginaria. Indubbiamente la componente reale del complesso coniugato è la stessa della componente reale del segnale analitico. Ma in questo caso la sua estrazione ripristina invece le componenti soppresse a frequenza positiva.

Un altro modo per ottenere uno spettro di frequenze negative è traslare in frequenza il segnale analitico sufficientemente nella direzione negativa. L'estrazione della componente reale ripristina ancora le frequenze positive. Ma in questo caso il loro ordine è rovesciato: le frequenze basse sono ora le frequenze alte. Questo può essere usato per demodulare un tipo di segnale a singola banda laterale chiamato segnale inferiore o a banda laterale invertita.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Il segnale analitico può essere espresso in termini di coordinate polari complesse , dove:

Un segnale (in blu) e l'ampiezza (in rosso) del rispettivo segnale analitico.

sono rispettivamente l'ampiezza e fase (istantanea) del segnale . La derivata rispetto al tempo della fase è la frequenza:

Tali grandezze sono usate per misurare e rilevare caratteristiche locali del segnale; un'altra applicazione della rappresentazione analitica di un segnale coinvolge la demodulazione di un segnale modulato, in quanto le coordinate polari separano convenientemente gli effetti della modulazione di ampiezza e fase (o frequenza).

Il segnale analitico può essere rappresentato come:

dove:

è l'inviluppo complesso, detto anche equivalente passa-basso, poiché si tratta del segnale analitico traslato nell'origine, ovvero in banda base. L'inviluppo complesso non è unico; al contrario è determinato da un arbitrario assegnamento di , e questo concetto è spesso usato quando si tratta con segnali passabanda. Se è il segnale modulato, è usualmente assegnato per essere una frequenza portante; in altri casi è selezionato per essere nel mezzo della banda di frequenze, oppure è scelto per minimizzare:

Alternativamente, può essere assegnato per minimizzare l'errore quadratico medio approssimando linearmente la fase istantanea :

o ancora alternativamente (per qualche ):

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Bracewell, R; The Fourier Transform and Its Applications, 2nd ed, 1986, McGraw-Hill.
  • (EN) Leon Cohen, Time-frequency analysis, Prentice-Hall (1995)
  • (EN) Frederick W. King, Hilbert Transforms, Vol. 2, Cambridge University Press (2009).
  • (EN) B. Boashash, "Estimating and Interpreting the Instantaneous Frequency of a Signal-Part I: Fundamentals", Proceedings of the IEEE, Vol. 80, No. 4, pp. 519–538, April 1992

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]