Rodonea

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Rodonea a 8 petali.

In geometria è detta rodonea la curva algebrica o trascendente il cui grafico è caratterizzato da una serie di avvolgimenti attorno ad un punto centrale. Nei casi più noti tali avvolgimenti producono figure a forma di rosone, da cui deriva alla curva il nome rodonea (dal greco rhódon, ròsa). La curva rodonea è chiamata anche rosa di Grandi da Luigi Guido Grandi, il matematico che la battezzò e studiò intorno al 1725.

La rodonea si può considerare un caso particolare di ipocicloide.

Equazione della curva[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione delle rodonea in coordinate polari è:

,

dove è un numero reale positivo che rappresenta la massima distanza della curva dal centro degli avvolgimenti, e è un numero reale positivo che determina la forma della curva. È possibile anche scrivere la rodonea come , che produce una figura analoga, ma ruotata di un angolo pari a radianti.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Rodonee ottenute per valori diversi del parametro

Se è un numero intero, la curva ha un numero finito di avvolgimenti, tutti passanti per l'origine degli assi, che generano una serie di "petali" componenti la figura a forma di rosone; il numero dei petali è pari a:

  • , se è dispari;
  • , se è pari.

Osserviamo che non è possibile ottenere rose con un numero di petali pari a . Per si ottiene un unico petalo, ovvero una circonferenza non centrata nell'origine.

L'area della superficie racchiusa dalla curva è pari a per pari, a per dispari.

Se è un numero razionale , la curva ha un numero finito di avvolgimenti, che si intersecano in più punti creando una serie di petali parzialmente sovrapposti; nella figura a fianco sono visualizzate le rodonee ottenute per alcuni valori di e . Come caso particolare, per , si ottiene il folium di Dürer.

In entrambi i casi precedenti, la curva ottenuta è algebrica; se invece è un numero irrazionale, la curva è trascendente ed ha un numero infinito di avvolgimenti che non si chiudono e formano un insieme denso, passando arbitrariamente vicino a ogni punto del cerchio di raggio .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Rhodonea Curves, in The MacTutor History of Mathematics archive, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. URL consultato il 16-07-2008.

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