Risultante (polinomi)

In matematica, il risultante di due polinomi $P$ e $Q$, con coefficienti dei monomi di grado massimo $p$ e $q$ rispettivamente, è definito come il prodotto

$\mathrm {res} (P,Q)=p^{\deg Q}q^{\deg P}\prod _{(x,y):\,P(x)=0,\,Q(y)=0}(x-y),$

delle differenze tra le loro radici in una chiusura algebrica di $k$, considerate con le loro molteplicità come radici dei polinomi, e di opportune potenze dei coefficienti $p$ e $q$.

Aspetti computazionali

• Per un fissato polinomio $P$, il prodotto di sopra può essere riscritto come

$\mathrm {res} (P,Q)=p^{\deg Q}\prod _{P(x)=0}Q(x),$

e quindi dipende polinomialmente dai coefficienti di $Q$. Un altro modo per vedere ciò è di osservare che $res(P,Q)$ dipende polinomialmente (con coefficienti interi) dalle radici di $P$ e $Q$, ed è invariante per qualunque permutazione di tali radici.

• Più concretamente, il risultante è il determinante della matrice di Sylvester associata a $P$ e $Q$.

• L'espressione

$\mathrm {res} (P,Q)=p^{\deg Q}\prod _{P(x)=0}Q(x)$

non cambia se $Q$ è ridotto modulo $P$.

• Sia $P'=P\mod Q$. Allora l'idea di sopra può essere iterata scambiando i ruoli di $P'$ e $Q$. Il risultante può pertanto essere calcolato tramite una variante dell'algoritmo di Euclide.

Proprietà

• Poiché il risultante è un polinomio a coefficienti interi nei coefficienti di $P$ e $Q$, si ha che
  • Il risultante è ben definito per polinomi su qualunque anello commutativo.
  • Se h è un omomorfismo dell'anello dei coefficienti in un altro anello commutativo, che preserva i gradi di $P$ e $Q$, allora il risultante dell'immagine tramite h di $P$ e $Q$ è l'immagine tramite h del risultante di $P$ e $Q$.
• Il risultante di due polinomi a coefficienti in un dominio di integrità è zero se e solo se hanno massimo comune divisore di grado positivo.

Applicazioni

• Il discriminante di un polinomio è definito (a meno del segno) come il quoziente del risultante tra il polinomio e la sua derivata con il coefficiente del suo monomio di grado massimo.

• I risultanti possono essere usati in geometria algebrica per determinate intersezioni. Ad esempio, siano

$f(x,y)=0$

e

$g(x,y)=0$

curve algebriche in $\mathbb {A} _{k}^{2}$. Se $f$ e $g$ sono visti come polinomi in $x$ a coefficienti in $k[y]$, allora il risultante di $f$ e $g$ è un polinomio in $y$ le cui radici sono le coordinate $y$ delle intersezioni tra le curve e degli asintoti comuni paralleli all'asse delle $x$.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Risultante, su MathWorld, Wolfram Research.