Risultante (polinomi)

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In matematica, il risultante di due polinomi e , con coefficienti dei monomi di grado massimo e rispettivamente, è definito come il prodotto

delle differenze tra le loro radici in una chiusura algebrica di , considerate con le loro molteplicità come radici dei polinomi, e di opportune potenze dei coefficienti e .

Aspetti computazionali[modifica | modifica wikitesto]

  • Per un fissato polinomio , il prodotto di sopra può essere riscritto come
e quindi dipende polinomialmente dai coefficienti di . Un altro modo per vedere ciò è di osservare che dipende polinomialmente (con coefficienti interi) dalle radici di e , ed è invariante per qualunque permutazione di tali radici.
  • L'espressione
non cambia se è ridotto modulo .
  • Sia . Allora l'idea di sopra può essere iterata scambiando i ruoli di e . Il risultante può pertanto essere calcolato tramite una variante dell'algoritmo di Euclide.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Poiché il risultante è un polinomio a coefficienti interi nei coefficienti di e , si ha che
    • Il risultante è ben definito per polinomi su qualunque anello commutativo.
    • Se h è un omomorfismo dell'anello dei coefficienti in un altro anello commutativo, che preserva i gradi di e , allora il risultante dell'immagine tramite h di e è l'immagine tramite h del risultante di e .
  • Il risultante di due polinomi a coefficienti in un dominio di integrità è zero se e solo se hanno massimo comune divisore di grado positivo.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

  • Il discriminante di un polinomio è definito (a meno del segno) come il quoziente del risultante tra il polinomio e la sua derivata con il coefficiente del suo monomio di grado massimo.
  • I risultanti possono essere usati in geometria algebrica per determinate intersezioni. Ad esempio, siano
e
curve algebriche in . Se e sono visti come polinomi in a coefficienti in , allora il risultante di e è un polinomio in le cui radici sono le coordinate delle intersezioni tra le curve e degli asintoti comuni paralleli all'asse delle .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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