Regolatore lineare quadratico

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Il regolatore lineare quadratico (LQR), nell'ambito del controllo ottimo, e più in generale dei controlli automatici e dei sistemi dinamici lineari tempoinvarianti, è un compensatore dinamico ottenuto a seguito della minimizzazione di un indice di costo funzione dello stato e del controllo .

,

con e matrici simmetriche e semi definite positive e simmetrica e definita positiva.

Validità ipotesi iniziali[modifica | modifica wikitesto]

Aver considerato matrici simmetriche non fa perdere di generalità il problema; infatti, qualunque forma quadratica è equivalente ad un'altra con matrice simmetrica. Si dimostra facilmente:

La matrice è simmetrica mentre risulta anti simmetrica e quindi genera una forma quadratica nulla.

La matrice R è definita positiva altrimenti esisterebbero per infinite soluzioni, caso poco interessante in campo ingegneristico per cui si predilige che l'ingresso ottimo sia unico.


Teorema: esistenza soluzione[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni matrice Q semidefinita positiva e per ogni matrice R definita positiva esiste sempre una soluzione del problema di controllo ottimo LQR che minimizza l'indice di costo

Teorema: esistenza soluzione stabilizzante[modifica | modifica wikitesto]

Se il sistema LTI è stabilizzabile e rivelabile, allora minimizzando l'indice di costo (rendendolo limitato) si stabilizza anche il sistema.

Il controllo ottenuto è funzione lineare dello stato e di alcune matrici tra cui P(t) soluzione della DRE (equazione differenziale di Riccati) se il controllo è a tempo finito, o P (costante) soluzione della ARE (equazione algebrica di Riccati) se il controllo è a tempo infinito.

Tempo finito
  • controllo
  • controllore in retroazione dallo stato
  • DRE la cui soluzione fornisce P(t)
Tempo infinito
  • controllo
  • controllore in retroazione dallo stato
  • ARE la cui soluzione fornisce P

Essenzialmente fare un controllo su intervallo finito o infinito significa solo far tendere all'infinito (→∞) l'estremo superiore dell'integrale che definisce . L'effetto di un controllo su tempo infinito è un controllore stazionario (indipendente dal tempo), ovvero una matrice costante e ottima rispetto all'indice che si voleva minimizzare.

Teorema: robustezza intrinseca[modifica | modifica wikitesto]

Controllo automatico

Si può dimostrare che il controllo LQR è robusto di per sé per una gamma di variazioni parametriche ∂ relative al processo nominale con upperbound costante in frequenza e pari a . In altre parole permette il controllo per tutte le variazioni che modificano la matrice di trasferimento riferimento-uscita prestazione di sensibilità del controllo fino ad un valore massimo tale che il massimo valore singolare di questa matrice sia minore di 2 (prestazione di sensibilità del controllo).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Colaneri P., Locatelli A., Controllo robusto in RH2/RH, Pitagora, Bologna, 1993.
  • Marro G., Controlli automatici - 5ª edizione, Zanichelli, 2004
  • K. Zhou, J. C. Doyle, K. Glover, Robust and optimal control, Prentice Hall, 1996.
  • P. Dorato, C. Abdallah, V. Cerone Linear quadratic control: an introduction, Prentice Hall, 1995.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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