Controllo ottimo

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Il controllo ottimo è, nell'ambito dei controlli automatici, l'insieme di algoritmi di controllo che stabilizzano un sistema dinamico, minimizzando una cifra di merito che dipende dallo stato del sistema e dal vettore degli ingressi.

Controllo automatico

Formulazione del problema[modifica | modifica wikitesto]

Sia definito il seguente sistema non lineare:

con

dove è il numero degli stati del sistema e è il numero degli ingressi.

Sia definito il seguente funzionale di costo:

Ipotizzando di essere all'istante iniziale e allo stato iniziale l'obiettivo è quello di trovare un controllo ottimo

che minimizzi rispettando il vincolo:

,

equivalente a

Si ha quindi un problema di minimo vincolato.

Equazioni di Eulero-Lagrange e condizioni di trasversalità[modifica | modifica wikitesto]

Detto problema di minimo vincolato può essere risolto mediante tecnica dei moltiplicatori di Lagrange, grazie ai quali viene ricondotto ad un problema equivalente di minimo non vincolato, pagando il prezzo dell'aumento delle dimensioni dello stesso.

con vettore di funzioni , moltiplicatori di Lagrange da determinare.

Si definisce la quantità

funzione Hamiltoniana. Per cui il funzionale da minimizzare diviene:

.

Esiste un estremale della funzione se la variazione prima .

Si consideri il termine ; integrando per parti e tenendo presente che e che essendo lo stato iniziale fissato, si ottiene:

Sostituendo in e raccogliendo opportunamente:

.

Il differenziale primo è nullo se sono pari a zero tutte le variazioni. Si trovano, quindi, le equazioni di Eulero Lagrange

e le condizioni di trasversalità

.

Il problema di ottimo si risolve perciò imponendo le equazioni soprascritte con le cosiddette condizioni di trasversalità che fanno le veci di condizioni al contorno. In base al fatto di avere stato finale e tempo finale liberi o fissati, si propongono quattro diversi problemi di ottimo.

Controllo LQR[modifica | modifica wikitesto]

Il controllo LQR permette di ottenere un controllo in retroazione dallo stato ottimo rispetto ad un indice quadratico nello stato x(t) e nel controllo u(t). Il controllore sintetizzato dipende dalla soluzione di una opportuna equazione di Riccati.

Controllo ottimo a minima energia[modifica | modifica wikitesto]

Utilizzato nel controllo di robot, è una strategia di controllo che permette di ottenere un segnale stabilizzante il sistema (eventualmente capace di fare tracking asintotico), che minimizzi il dispendio energetico, e quindi i consumi. Poiché l'energia è funzione del segnale di controllo al sistema, in genere la u(t) sintetizzata è piccola in modulo.

Controllo ottimo a minimo tempo[modifica | modifica wikitesto]

Utilizzato nel controllo di robot, è una strategia di controllo che permette di ottenere un segnale stabilizzante il sistema (eventualmente capace di fare tracking asintotico), che minimizzi il tempo necessario per eseguire l'operazione. Poiché il tempo di salita necessario per arrivare a regime è funzione inversa del segnale di controllo al sistema, in genere l'ingresso u(t) sintetizzato è grande in modulo. L'estremizzazione del controllo a minimo tempo è il controllo BANG-BANG nel quale il controllo può assumere solo 3 valori: saturazione positiva, saturazione negativa e nullo.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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