Pseudo-inversa

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In matematica, e in particolare in algebra lineare, la matrice pseudo-inversa, o pseudo-inversa di Moore-Penrose, di una matrice data si indica con ed è la generalizzazione della matrice inversa al caso in cui non sia quadrata.

La matrice pseudo-inversa interviene nella soluzione del problema dei minimi quadrati.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Data la matrice di dimensioni , una matrice è detta pseudo-inversa di se verifica le seguenti quattro proprietà:

Data una matrice , esiste un'unica matrice pseudo-inversa che verifica le precedenti proprietà.

Se la matrice ha rango massimo esiste una semplice espressione algebrica per determinare la pseudo-inversa. In particolare, data la matrice di dimensioni con e rango , la matrice pseudo-inversa di è la matrice

ed è un'inversa sinistra, cioè

dove è la matrice identità. Invece se di dimensioni con e rango la matrice pseudo-inversa è la seguente

ed è un'inversa destra, cioè

Formula generale[modifica | modifica wikitesto]

Sia una matrice reale di rango . Utilizzando la decomposizione ai valori singolari (SVD) della matrice , si ha

dove , , . Le matrici sono matrici unitarie; inoltre, in generale, non sono uniche. Invece, la matrice è unica, è una matrice rettangolare diagonale e contiene tutti i valori singolari della matrice sulla sua diagonale principale, ordinati in ordine decrescente: . Con tale formulazione, segue che la pseudo-inversa della matrice iniziale è data da

dove (pseudo-inversa di ) è esplicitamente calcolabile prendendo la trasposta di e sostituendo ai valori singolari non nulli, , il loro reciproco. La dimostrazione della validità della formula segue per calcolo diretto.

Inoltre, utilizzando la riscrittura data dalla SVD, si può verificare che:

ed analogamente

.

Tutte le formule precedenti valgono anche nel caso di matrici complesse, a patto di sostituire il trasposto con il trasposto coniugato.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • La pseudo-inversa della pseudo-inversa è la matrice iniziale: .
  • Se quadrata con rango massimo allora la pseudo-inversa coincide con la matrice inversa standard: .
  • La pseudo-inversa della trasposta è la trasposta della pseudo-inversa: .

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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