Pentagramma miracoloso

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Configurazioni di esempio di pentagramma mirificum
Relazioni tra angoli e lati di cinque triangoli rettangoli adiacenti al pentagono interno. I loro cerchi di Napier contengono spostamenti circolari di parti

Pentagramma miracoloso (dal latino Pentagramma mirificum) è un poligono stellato su una sfera, composto da cinque grandi archi di cerchio, i cui angoli interni sono tutti angoli retti. Questa forma è stata descritta da Nepero nel 1614 nel libro Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descrizione della tabella Ammirabile di logaritmi) insieme alle regole che collegano i valori delle funzioni trigonometriche di cinque parti di un triangolo sferico rettangolo (due angoli e tre lati). Le proprietà del pentagramma miracoloso furono studiate, tra gli altri, da Carl Friedrich Gauss.[1]

Proprietà geometriche[modifica | modifica wikitesto]

Su una sfera, sia gli angoli che i lati di un triangolo (archi di grandi cerchi) sono misurati come angoli.

Ci sono cinque angoli retti, ciascuno di misura a , , , , e

Ci sono dieci archi, ciascuno di misura , , , , , , , , , e

Nel pentagono sferico , ogni vertice è il polo del lato opposto. Ad esempio, punto è il polo dell'equatore , punto - il polo dell'equatore , eccetera.

Ad ogni vertice del pentagono , l'angolo esterno è uguale in misura al lato opposto. Per esempio, eccetera.

I triangoli sferici di Nepero , , , , e sono rotazioni l'una dell'altra.

Le formule di Gauss[modifica | modifica wikitesto]

Gauss ha introdotto la notazione

Le seguenti identità valgono, consentendo la determinazione di tre qualsiasi delle quantità di cui sopra dalle due rimanenti:[2]

Gauss ha dimostrato la seguente "bella uguaglianza" (schöne Gleichung):[2]

L'equazione è soddisfatta, ad esempio, dai numeri , il cui prodotto è uguale a .

Dimostrazione della prima parte dell'uguaglianza:

Prova della seconda parte dell'uguaglianza:

Gauss ha ottenuto anche la formula[2]

dove è l'area del pentagono .

Proiezione gnomonica[modifica | modifica wikitesto]

L'immagine del pentagono sferico nella proiezione gnomonica (una proiezione dal centro della sfera) su qualsiasi piano tangente alla sfera forma un pentagono rettilineo. I suoi cinque vertici determinano in modo univoco una sezione conica; in questo caso - un'ellisse. Gauss ha mostrato che le altezze del pentagramma (linee che passano per i vertici e perpendicolari ai lati opposti) si incrociano in un punto , che è l'immagine del punto di tangenza del piano alla sfera.

Arthur Cayley ha osservato che, se impostiamo l'origine di un sistema di coordinate cartesiane nel punto , ed indicando quindi le coordinate dei vertici : soddisfano le uguaglianze , dove è la lunghezza del raggio della sfera.[3]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Carl Friedrich Gauss, Pentagramma mirificum, in Werke, Band III: Analysis, Göttingen, Königliche Gesellschaft der Wissenschaften, 1866, pp. 481–490.
  2. ^ a b c H. S. M. Coxeter, Frieze patterns (PDF), in Acta Arithmetica, vol. 18, 1971, pp. 297–310, DOI:10.4064/aa-18-1-297-310.
  3. ^ Arthur Cayley, On Gauss's pentagramma mirificum, in The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, vol. 42, n. 280, 1871, pp. 311–312, DOI:10.1080/14786447108640572.

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