Ottica matriciale

L'ottica matriciale è un particolare formalismo che permette di ricavare la traiettoria di un raggio luminoso (nelle approssimazioni dell'ottica geometrica) all'interno di un sistema ottico centrato; più nel dettaglio il raggio luminoso viene schematizzato come un vettore colonna a due componenti non omogenee: la prima rappresenta la distanza del raggio dall'asse ottico del sistema, la seconda invece la sua inclinazione rispetto allo stesso asse.

Notazione

Se si indica con z la distanza misurata sull'asse ottico, in ottica matriciale un raggio luminoso viene scritto come

${\vec {r}}(z)={\begin{pmatrix}r(z)\\{\frac {dr}{dz}}(z)\end{pmatrix}}$

Consideriamo poi un qualsiasi elemento ottico attraversato dal raggio ed indichiamo con ${\vec {r}}_{i}(z)$ e ${\vec {r}}_{o}(z)$ rispettivamente il raggio in ingresso e in uscita dall'elemento considerato, l'ottica geometrica permette di ricavare ${\vec {r}}_{o}(z)$ a partire da ${\vec {r}}_{i}(z)$ con una relazione del tipo

${\vec {r}}_{o}(z)={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}{\vec {r}}_{i}(z)$

dove la matrice 2$\times$2 ABCD è una caratteristica dell'elemento ottico considerato. Con questo formalismo la propagazione attraverso due elementi ottici consecutivi caratterizzati da matrici M$_{1}$ e M$_{2}$ è data da un unico elemento descritto dalla matrice prodotto M$_{1}$ M$_{2}$.

Esempi notevoli

Mezzo omogeneo di spessore d

$M={\begin{pmatrix}1&d\\0&1\end{pmatrix}}$

Interfaccia piana tra due dielettrici con indici di rifrazione $n_{1}$ e $n_{2}$

$M={\begin{pmatrix}1&0\\0&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{pmatrix}}$

Interfaccia curva (raggio di curvatura $R$) tra due dielettrici con indici di rifrazione $n_{1}$ e $n_{2}$

$M={\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{2}R}}&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{pmatrix}}$

Lente sottile di focale $f\quad$ (attenzione: $f<0$ se la lente è divergente)

$M={\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{pmatrix}}$

Due lenti di focali $f_{1}\quad$ e $f_{2}\quad$ in configurazione telescopica

$M={\begin{pmatrix}-{\frac {f_{2}}{f_{1}}}&f_{1}+f_{2}\\0&-{\frac {f_{1}}{f_{2}}}\end{pmatrix}}$

Fibra ottica o lente GRIN con indice di rifrazione graduato secondo la legge $n=n_{0}-{\frac {1}{2}}n_{2}r^{2}$ e pitch ${\frac {\varphi }{2\pi }}$

$M={\begin{pmatrix}\cos {\varphi }&{\frac {\sin {\varphi }}{\sqrt {n_{0}n_{2}}}}\\-{\frac {\sin {\varphi }}{\sqrt {n_{0}n_{2}}}}&\cos {\varphi }\end{pmatrix}}$

Con argomenti termodinamici si può dimostrare una proprietà generale delle matrici ABCD dell'ottica geometrica e cioè che il determinante di tali matrici $AD-BC$ è sempre uguale al rapporto ${\frac {n_{1}}{n_{2}}}$ fra gli indici di rifrazione dei mezzi di ingresso e uscita dell'elemento ottico considerato.