Numero di Harshad

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Un numero di Harshad in una data base è un numero intero positivo divisibile per la somma delle proprie cifre.

La definizione dei numeri di Harshad è stata data dal matematico indiano Dattatreya Ramachandra Kaprekar. Il termine Harshad deriva dal sanscrito "harṣa" che significa "grande gioia". A volte ci si riferisce a questi numeri anche come numeri di Niven, in onore del matematico Ivan Morton Niven.

Definizione matematica[modifica | modifica sorgente]

Dato un intero positivo X che, espresso in base n, sia di m cifre ai (con i = 0, 1, ..., m − 1) (Si noti che ai deve essere zero o un intero positivo inferiore a n), allora X può essere scritto come:

X=\sum_{i=0}^{m-1} a_i n^i.

Se esiste un intero A tale che valga la seguente uguaglianza, allora X è un numero di Harshad in base n:

X=A\sum_{i=0}^{m-1} a_i.

Numeri di Harshad in base 10[modifica | modifica sorgente]

I primi numeri di Harshad nella base 10 con più di una cifra sono (sequenza A005349 dell'OEIS):

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, 201, 204.

Numeri di Harshad consecutivi[modifica | modifica sorgente]

Helen Grundman ha dimostrato nel 1994 che, in base 10, non esistono sequenze di numeri di Harshad consecutivi di lunghezza pari o superiore a 21. Ha anche individuato la prima sequenza di 20 numeri consecutivi: si trova oltre 1044363342786.

Stima della quantità di numeri di Harshad[modifica | modifica sorgente]

Sia N(x) la funzione che restituisce il numero di numeri di Harshad ≤ x:

  • De Koninck, Doyon e Kátai hanno poi dimostrato che, posto c = (14/27) log 10 ≈ 1,1939: N(x)=(c+o(1))\frac{x}{\log x}.

Quali numeri possono o non possono essere numeri di Harshad?[modifica | modifica sorgente]

  • Ogni numero naturale con notazione \mathbb en\cdot10^i , dove \mathbb en è una qualsiasi cifra compresa tra 1 e 9, e \mathbb ei è un qualsiasi intero maggiore o uguale a 0, è un numero di Harshad poiché la somma delle sue cifre è pari ad \mathbb en.[1]
  • Ogni numero naturale con notazione \mathbb ennn è un numero di Harshad, infatti \mathbb ennn = \mathbb en\cdot10^2+\mathbb en\cdot10^1+\mathbb en\cdot10^0 = \mathbb en\cdot(100+10+1) = \mathbb en\cdot111 = \mathbb en\cdot(3\cdot37) = (3\cdot \mathbb en)\cdot37, per cui \mathbb ennn è sicuramente divisibile per la somma delle sue cifre, ossia 3 \mathbb en.[2]
  • Con procedimento analogo si può dimostrare che ogni numero naturale con notazione \mathbb en...n di lunghezza \mathbb el pari ad una qualsiasi potenza naturale di 3, è un numero di Harshad, infatti si può sempre fattorizzare \mathbb (l \cdot n).
  • Tutti i fattoriali fino a 431! compreso sono numeri di Harshad. 432! è il primo a non esserlo. Invece lo sono altri fattoriali, ad esempio: 444!, 453!, 458!, 474!, 476!, 485!, 489!, ...

Numeri di Harshad in base b[modifica | modifica sorgente]

Un numero di Harshad in una generica base b viene definito un numero di b-Harshad (secondo la notazione di Grundman del 1994).

I numeri 1, 2, 4 e 6 sono tutti e i soli ad essere numeri di Harshad in qualunque base siano espressi; per questa proprietà sono detti numeri di Harshad completi.

Numeri di b-Harshad consecutivi[modifica | modifica sorgente]

In notazione binaria, c'è un numero infinito di sequenze di 4 numeri di 2-Harshad; in notazione ternaria, c'è un numero infinito di sequenze di 6 numeri di 3-Harshad. Entrambe le dimostrazioni si devono a T. Cai che le pubblicò nel 1996.

Che numeri possono o non possono essere numeri di b-Harshad?[modifica | modifica sorgente]

  • Ogni numero \mathbb en inferiore alla base \mathbb eb è un numero di b-Harshad. Infatti essendo la sua notazione di una sola cifra, risulta evidentemente essere divisibile per sé stesso.
  • Ogni numero \mathbb ea che sia una potenza intera di \mathbb eb (ovvero \mathbb ea = \mathbb eb^n) è un numero di b-Harshad, poiché la sua notazione in base \mathbb eb è 10, 100, ..., 10...0 quindi la somma delle cifre di \mathbb ea è sempre pari a 1 che è sicuramente un divisore di \mathbb ea.
  • Un numero primo \mathbb ep è un numero di b-Harshad solamente se è inferiore o uguale alla base \mathbb eb. La prima regola esposta assicura la validità di questa regola per i casi \mathbb ep < \mathbb eb. La seconda regola esposta, per il caso \mathbb ep = \mathbb eb (nell'eventulità che \mathbb eb stesso sia primo). La validità per i casi rimanenti può essere dimostrata per assurdo, infatti se esistesse un numero primo \mathbb ep, superiore alla base \mathbb eb che fosse un numero di b-Harshad, allora la somma delle sue cifre (che è necessariamente inferiore a \mathbb ep e superiore all'unità) sarebbe un divisore di \mathbb ep che, tuttavia, essendo primo ammette come divisori unicamente \mathbb ep e l'unità.

Numeri Harshad-morfici[modifica | modifica sorgente]

Un numero intero \mathbb et si dice Harshad-morfico (o Niven-morfico) se, per una data base \mathbb eb, è possibile trovare un numero di b-Harshad \mathbb en, tale che la somma delle sue cifre sia pari a \mathbb et, e \mathbb et sia la parte terminale della notazione di \mathbb en scritto nella stessa base \mathbb eb.

Ad esempio, 18 è Harshad-morfico in base 10, poiché:

16218 ha 18 come somma delle cifre
18 è un divisore di 16218 (quindi 16218 è un numero di Harshad)
18 è la parte finale di 16218

Sandro Boscaro ha dimostrato che in base 10 tutti i numeri interi sono Harshad-morfici tranne 11.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • H. G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quarterly 32 (1994), 174-175
  • Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quarterly Volume 41.5 (November 2003), 431–440
  • Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katái, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265–275
  • Sandro Boscaro, Nivenmorphic Integers, Journal of Recreational Mathematics 28, 3 (1996 - 1997): 201–205

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Ad esempio: 3 (n=3, i=0), 100 (n=1, i=2) o 500.000 (n=5, i=5).
  2. ^ Ad esempio: 777= 7*111 = 7*3*37 = 21*37.
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