Numeri di Grassmann

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In fisica matematica, un numero di Grassmann (chiamato numero anticommutante) è una quantità che anticommuta con gli altri numeri di Grassmann, ma commuta con i numeri ordinari ,

In particolare, il quadrato di un numero di Grassmann è nullo:

L'algebra generata da un insieme di numeri di Grassmann è nota come algebra di Grassmann (o algebra esterna). L'algebra di Grassmann generata da numeri di Grassmann linearmente indipendenti ha dimensione . Questi enti prendono il nome da Hermann Grassmann. Ad esempio se , abbiamo gli elementi linearmente indipendenti:

che insieme all'unità , formano uno spazio -dimensionale.

L'algebra di Grassman è l'esempio prototipo di algebre supercommutative. Queste sono algebre con una decomposizione in variabili pari e dispari che soddisfa una versione gradata della commutatività (in particolare, elementi dispari anticommutano).

Rappresentazione matriciale[modifica | modifica wikitesto]

I numeri di Grassmann possono sempre venire rappresentati da matrici. Consideriamo, ad esempio, l'algebra di Grassmann generata da due numeri di Grassmann e . Questi numeri possono essere rappresentati da matrici :

In generale, una algebra di Grassmann con generatori può venire rappresentata da matrici quadrate. In fisica queste matrici possono rappresentare operatori di creazione agenti sullo spazio di Fock, ovvero lo spazio formato dalla somma diretta degli spazi di Hilbert di fermioni. Dal momento che il numero di occupazione per ciascun fermione è o o , ci sono stati possibili. Matematicamente, queste matrici possono essere interpretate come operatori lineari corrispondenti alla moltiplicazione sinistra dell'algebra esterna sull'algebra di Grassmann stessa.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

In teoria quantistica dei campi, i numeri di Grassman sono usati per definire l'integrale sui cammini dei campi fermionici. A questo scopo è necessario definire gli integrali sulle variabili di Grassman, noti come integrali di Berezin.

I numeri di Grassman sono anche importanti nella definizione di supervarietà (o superspazio), dove vengono utilizzate come "coordinate anticommutanti".

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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