Spazio di Fock

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In meccanica quantistica e nella teoria quantistica dei campi, lo spazio di Fock è uno spazio di Hilbert usato nel formalismo della seconda quantizzazione per descrivere stati quantistici a numero variabile di particelle.

Lo spazio di Fock è stato introdotto dal fisico Vladimir Fock, che lo descrisse nel testo Konfigurationsraum und zweite Quantelung[1][2].

Matematicamente è definito come lo spazio di Hilbert H risultante dalla somma diretta del prodotto tensoriale di spazi di Hilbert di singola particella:

F_\nu(H)=\bigoplus_{n=0}^{\infty}S_\nu H^{\otimes n}

dove S_\nu è l'operatore di simmetrizzazione o antisimmetrizzazione, dipendentemente dal tipo di particelle descritte: nel caso di bosoni si ha \nu = +, nel caso di fermioni \nu = -.

La base dello spazio di Fock è costituita dagli stati di Fock.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Lo spazio di Fock è definito come lo spazio di Hilbert H risultante dalla somma diretta del prodotto tensoriale di spazi di Hilbert di singola particella:

F_\nu(H)=\bigoplus_{n=0}^{\infty}S_\nu H^{\otimes n} =\mathbb{C} \oplus H \oplus \left(S_\nu \left(H \otimes H\right)\right) \oplus \left(S_\nu \left( H \otimes H \otimes H\right)\right) \oplus \ldots

Dove \mathbb{C} rappresentano gli stati privi di particelle, H gli stati di una particella, S_\nu (H\otimes H) stati di due particelle identiche, e così via.

Un generico stato in F_\nu(H) è dato da:

|\Psi\rangle_\nu=\psi_0 \oplus |\psi_1\rangle \oplus |\psi_{11}, \psi_{12} \rangle_\nu \oplus \ldots

dove \,\psi_0 è un numero complesso,  |\psi_1\rangle \in H, |\psi_{11}, \psi_{12} \rangle_\nu \in S_\nu(H \otimes H), e così via.

Per

|\Psi\rangle_\nu=\psi_0 \oplus |\psi_1\rangle \oplus |\psi_{11}, \psi_{12} \rangle_\nu \oplus \ldots
|\Phi\rangle_\nu=\phi_0 \oplus |\phi_1\rangle \oplus |\phi_{11}, \phi_{12} \rangle_\nu \oplus \ldots

il prodotto interno su F_\nu(H) è definito come

\langle \Psi |\Phi\rangle_\nu:=\psi_0^* \phi_0 + \langle\psi_1 | \phi_1 \rangle +\langle \psi_{11}, \psi_{12} |\phi_{11}, \phi_{12} \rangle_\nu + \ldots

dove si è usato il prodotto interno su ognuno degli spazi di Hilbert di ognuna delle n particelle.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ V. Fock, Z. Phys. 75 (1932), 622-647
  2. ^ M.C. Reed, B. Simon, "Methods of Modern Mathematical Physics, Volume II", Academic Press 1975. Page 328.
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