Invariante dinamico

In meccanica razionale l'invariante dinamico è una grandezza scalare caratteristica dell'atto di moto di un corpo rigido, e vale:

$I_{D(t)}=\mathbf {R} _{(t)}\cdot \mathbf {M} _{(t)}$

La sua invarianza deriva dalla relazione tra momento meccanico M e forza F risultanti su un corpo rigido, e dalle proprietà del prodotto misto:

$\mathbf {R} \cdot \mathbf {M} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {M'} +\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \times \mathbf {r} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {M'}$,

Da questa dimostrazione si evince infatti come I_D sia unico per tutti i punti del corpo rigido, mentre non si mantiene generalmente costante durante il moto.

Quando l'invariante scalare è nullo il sistema dinamico è equivalente ad una forza pura, nel caso in cui il momento risultante sia nullo o i due vettori siano perpendicolari, o ad una pura coppia, nel caso in cui la forza risultante sia nulla.

Definizione

Dati

$\mathbf {M} _{P}=\sum _{i=1}^{N}\left(A_{i}-P\right)\times \mathbf {u} _{i}$

dove $A_{i}$ sono i punti di applicazione dei vettori $\mathbf {u} _{i}$, e

$\mathbf {R} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {u} _{i}$

l'invariante scalare è definito come

$I=\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} =M_{P}R\cos \theta$

con $M_{P}$ modulo di $\mathbf {M} _{P}$, $R$ modulo di $\mathbf {R}$ e θ valore dell'angolo compreso tra $\mathbf {M} _{P}$ e $\mathbf {R}$.

Equivalenza tra momenti di poli diversi

Il termine invariante è dovuto al fatto che esso non dipende dal polo scelto, cioè

$I=\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} =\mathbf {M} _{Q}\cdot \mathbf {R}$

con P e Q poli distinti.

Dimostrazione

Per la teoria di equivalenza il momento di un polo Q, dato $\mathbf {M} _{P}$, vale

$\mathbf {M} _{Q}=\mathbf {M} _{P}+\left(P-Q\right)\times \mathbf {R}$

moltiplicando scalarmente per $\mathbf {R}$ entrambi i membri si ottiene

$\mathbf {M} _{Q}\cdot \mathbf {R} =\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} +\left(P-Q\right)\times \mathbf {R} \cdot \mathbf {R}$

sfruttando la proprietà ciclica del prodotto misto la relazione diventa

$\mathbf {M} _{Q}\cdot \mathbf {R} =\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} +\left(P-Q\right)\cdot \mathbf {R} \times \mathbf {R}$

ma

$\mathbf {R} \times \mathbf {R} =\mathbf {0}$

perché $\mathbf {R}$ è parallelo a se stesso, e quindi

$\mathbf {M} _{Q}\cdot \mathbf {R} =\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} =I$

Uso dell'invariante scalare

Ricerca dell'asse centrale

Dal valore che l'invariante scalare assume è possibile ricavare l'asse centrale (luogo dei poli di momento minimo) del sistema di vettori o, in mancanza di esso, almeno un polo di momento minimo o nullo. Supponendo un sistema di vettori a risultante $\mathbf {R}$ non nullo, tale che R > 0, si possono ottenere i seguenti casi:

• $I=0$
  • $\mathbf {M} _{P}=\mathbf {0}$ : allora P appartiene all'asse centrale, che è la retta passante per P parallela a $\mathbf {R}$
  • $\mathbf {M} _{P}\perp \mathbf {R}$ : allora esiste un polo Q di momento nullo. Infatti:

$\mathbf {R} \times \mathbf {M} _{Q}=\mathbf {R} \times \mathbf {M} _{P}+\mathbf {R} \times \left[\left(P-Q\right)\times \mathbf {R} \right]=\mathbf {0}$

$\Rightarrow \mathbf {R} \times \mathbf {M} _{P}+\left(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \right)\left(P-Q\right)-\left[\mathbf {R} \cdot \left(P-Q\right)\right]\mathbf {R} =\mathbf {0}$

ma $\left[\mathbf {R} \cdot \left(P-Q\right)\right]\mathbf {R} =\mathbf {0}$, e quindi

$\Leftrightarrow \left(Q-P\right)={\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {M} _{P}}{R^{2}}}$

• $I\neq 0$
  • $I=M_{P}R\cos \theta$ : allora il momento $\mathbf {M} _{P}$ è minimo quando la risultante è parallela al momento stesso. Infatti:

$\Rightarrow M_{P}={\frac {I}{R\cos \theta }}={\frac {1}{R}}{\frac {\left|I\right|}{\left|\cos \theta \right|}}$

$M_{P}$ è minimo $\Leftrightarrow \cos \theta =1\Leftrightarrow \theta _{1}=0,\theta _{2}=\pi \Leftrightarrow \mathbf {M} _{P}//\mathbf {R}$

Massima riducibilità di un sistema di vettori applicati

L'invariante scalare è indice della possibilità di ridurre il numero dei componenti di un dato sistema di vettori in una quantità minima di un sistema ad esso equivalente. Si presentano i seguenti casi:

• $I=0$
  • $\mathbf {R} =\mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}=\mathbf {0}$ : il sistema è equilibrato, ossia equivalente ad un vettore nullo applicato in un punto qualunque
  • $\mathbf {R} =\mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}\neq \mathbf {0}$ : il sistema è equivalente ad una coppia di momento $\mathbf {M} _{P}$
  • $\mathbf {R} \neq \mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}=\mathbf {0}$ : il sistema è equivalente al vettore $\mathbf {R}$ applicato nel polo P appartenente all'asse centrale
  • $\mathbf {R} \neq \mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}\neq \mathbf {0} \Rightarrow \mathbf {R} \perp \mathbf {M} _{P}$ : allora esiste un polo $Q:\left(Q-P\right)={\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {M} _{P}}{R^{2}}},\mathbf {M} _{Q}=\mathbf {0}$ . Il sistema è equivalente al vettore $\mathbf {R}$ applicato in Q appartenente all'asse centrale
• $I\neq 0$

$\mathbf {R} \neq \mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}\neq \mathbf {0} \ \forall \ P$ : il sistema è equivalente al vettore $\mathbf {R}$ applicato nel polo P con una coppia di momento $\mathbf {M} _{P}$

Bibliografia

• Mauro Fabrizio, Elementi di meccanica classica, Bologna, Zanichelli, 2002

Voci correlate

• Invariante cinematico
• Forza
• Momento meccanico
• Corpo rigido
• Momento di un vettore
• Poligono funicolare
• Prodotto scalare
• Prodotto vettore
• Prodotto misto