Gruppo triangolare

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In algebra un gruppo triangolare è un gruppo generato dalle riflessioni lungo i lati di un triangolo con angoli

Il triangolo è contenuto nel piano euclideo, nel piano iperbolico o nella sfera a seconda che la somma degli angoli interni sia uguale, minore o maggiore di . Il gruppo triangolare è anche il gruppo di simmetrie della tassellazione del piano corrispondente.

Un gruppo triangolare è un particolare gruppo di Coxeter.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Siano tre numeri interi maggiori o uguali a 2. Sia un triangolo avente angoli interni

La somma degli angoli interni è

In geometria euclidea un tale triangolo esiste soltanto se la somma degli angoli interni è , e cioè se

Se la somma degli angoli interni è maggiore o minore di , un tale triangolo esiste nelle altre due geometrie non euclidee più importanti, e cioè la geometria sferica e la geometria iperbolica. Le figure seguenti mostrano un triangolo sferico (in cui la somma degli angoli interni è maggiore di ) e un triangolo iperbolico (in cui è minore di ):

Spherical triangle 3d opti.png
Triangolo sferico
Triangolo iperbolico.svg
Triangolo iperbolico

Il gruppo triangolare

è il gruppo di simmetrie del piano (euclideo, sferico o iperbolico) generato dalle tre riflessioni lungo i tre lati del triangolo. Indicando con queste riflessioni, il gruppo triangolare ha la seguente presentazione:

Le relazioni sono dovute al fatto che una riflessione ha ordine 2, mentre le relazioni sono conseguenza del fatto che la composizione è una rotazione di angolo attorno al vertice avente angolo ed ha quindi ordine .

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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