Funzione Xi di Riemann

Funzione $\xi (s)$di Riemann nel piano complesso. Il colore di un punto $s$ codifica il valore della funzione. I colori più scuri indicano valori più vicini a zero e la tonalità codifica l'argomento del valore.

In matematica, la funzione Xi (Ξ) di Riemann è una funzione definita in modo tale da avere un'equazione funzionale particolarmente semplice. Essa è una variante della funzione zeta di Riemann.

Definizione

La funzione $\xi$ (xi minuscola) originale di Riemann è stata rinominata in funzione Ξ (Xi maiuscola) dal matematico tedesco Edmund Landau.

La funzione $~\xi ~$ fu definita, infatti, da Landau come:

$\xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}s\right)\zeta (s)$

per $s\in \mathbb {C}$, con $\zeta (s)$ che indica la funzione zeta di Riemann e $\Gamma (s)$ la funzione Gamma.

L'equazione funzionale per la $~\Xi ~$ di Landau è $\xi (1-s)=\xi (s)~.$

Invece, la funzione originale di Riemann fu rinominata da Landau in funzione ${\textstyle ~\Xi ~}$ come ${\textstyle \Xi (z)=\xi \left({\tfrac {1}{2}}+zi\right),}$ che obbedisce all'equazione funzionale ${\textstyle \Xi (-z)=\Xi (z)~.}$

Si noti che la funzione $~\Xi ~$ sopra riportata è invero la funzione originariamente indicata da Riemann con la lettera minuscola $~\xi ~$. Entrambe sono funzioni intere e puramente reali per argomenti reali.

Valori

La forma generale per numeri interi pari positivi è

$\xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)$

dove B _n indica l'n-esimo numero di Bernoulli. Per $n=1$ si ha ${\textstyle \xi (2)={\frac {\pi }{6}}.}$

Rappresentazioni in serie

La funzione $\xi$ ha la seguente espansione in serie

${\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},$

dove

$\lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right],$ e la sommatoria è presa sugli zeri non banali ρ della funzione zeta, in numero di $|\Im (\rho )|.$

Questa espansione gioca un ruolo di particolare importanza nel criterio di Li, secondo il quale l'ipotesi di Riemann equivale ad avere $\lambda _{n}>0,\forall n>0.$

Prodotto di Hadamard

Una semplice espansione con prodotto infinito è data da:

$\xi (s)={\frac {1}{2}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),\!$ dove ρ spazia sulle radici di ξ.

Per garantire la convergenza nell'espansione, il prodotto dovrebbe essere preso sulle "coppie corrispondenti" di zeri: quei fattori per una coppia di zeri della forma $\rho$ e $1-\rho$ dovrebbero, quindi, essere raggruppati insieme.

Bibliografia

• (DE) Edmund Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, III, New York, Chelsea, 1974 [1909].
• (EN) J. B. Keiper, Power series expansions of Riemann’s $\xi$ function, in Mathematics of Computation, LVIII, n. 198, 1º maggio 1992, pp. 765–765, DOI:10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5.