Dodecadodecaedro camuso invertito

Dodecadodecaedro camuso invertito
Tipo	Poliedro stellato uniforme
Forma facce	60 triangoli 12 pentagoni 12 pentagrammi
Nº facce	84
Nº spigoli	150
Nº vertici	60
Caratteristica di Eulero	-6
Incidenza dei vertici	3.3.5.3.5/3
Notazione di Wythoff	| 5/3 2 5
Notazione di Schläfli	sr{5/3,5}
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetria	I, [5,3]+, 532
Duale	Esacontaedro pentagonale medio invertito
Proprietà	Non convessità
Politopi correlati
Figura al vertice Poliedro duale

In geometria, il dodecadodecaedro camuso invertito è un poliedro stellato uniforme avente 84 facce - 60 triangolari, 12 pentagonali e 12 a forma di pentagramma - 150 spigoli e 60 vertici.

Coordinate cartesiane

Le coordinate cartesiane per i vertici del dodecadodecaedro camuso invertito, spesso indicato con il simbolo U₆₀ e il cui inviluppo convesso è un dodecaedro camuso non uniforme, sono date da tutte le permutazioni pari di:

$\left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2,\,\pm 2\beta \,\right)$

$\left(\,\pm (\alpha +\beta \varphi ^{-1}+\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi +\beta +\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi -1)\,\right)$

$\left(\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi +1),\,\pm (-\alpha +\beta \varphi ^{-1}-\varphi ),\,\pm (\alpha \varphi +\beta -\varphi ^{-1})\,\right)$

$\left(\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi -1),\,\pm (\alpha -\beta \varphi ^{-1}-\varphi ),\,\pm (\alpha \varphi +\beta +\varphi ^{-1})\,\right)$

$\left(\,\pm (\alpha +\beta \varphi ^{-1}-\varphi ),\,\pm (\alpha \varphi -\beta +\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi +1)\,\right)$

con un numero pari di segni più, dove $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ è la sezione aurea, $\alpha \approx -0,3352090$ è la radice reale negativa dell'equazione l'unica soluzione reale dell'equazione

$$\varphi \alpha ^{4}-\alpha ^{3}+2\alpha ^{2}-\alpha -{\frac {1}{\varphi }}=0$$

e

$$\beta ={\frac {\alpha ^{2}\varphi ^{-1}+\varphi }{\alpha \varphi -\varphi ^{-1}}}.$$

Poliedri correlati

Esacontaedro pentagonale medio invertito

Esacontaedro pentagonale medio invertito
Tipo	Poliedro stellato
Forma facce	Pentagoni irregolari
Nº facce	60
Nº spigoli	150
Nº vertici	84
Caratteristica di Eulero	-6
Gruppo di simmetria	I, [5,3]+, 532
Duale	Dodecadodecaedro camuso invertito

L'esacontaedro pentagonale medio invertito è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del dodecadodecaedro camuso invertito, avente per facce 60 pentagoni irregolari non convessi.

Dato un dodecadodecaedro camuso invertito di spigolo pari a 1, immaginando l'esacontaedro pentagonale medio invertito come composto da 60 facce intersecanti a forma di pentagono irregolare non convesso, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, e considerando la già citata sezione aurea e il numero $\xi \approx -0,236\,993\,843\,45$ - radice maggiore del polinomio $P=8x^{4}-12x^{3}+5x+1$ - ogni faccia risulta avere tre angoli uguali di ampiezza pari a $\arccos(\xi )\approx 103,709\,182\,219\,53^{\circ }$, un angolo ampio $\arccos(\phi ^{2}\xi +\phi )\approx 3,990\,130\,423\,41^{\circ }$ e uno ampio $360^{\circ }-\arccos(\phi ^{-2}\xi -\phi ^{-1})\approx 224,882\,322\,917\,99^{\circ }$, con due lati corti di lunghezza pari a

$$1-{\sqrt {\frac {1-\xi }{\phi ^{3}-\xi }}}\approx 0,474\,126\,460\,54,$$

due più grandi di lunghezza pari a

$$1+{\sqrt {\frac {1-\xi }{\phi ^{-3}-\xi }}}\approx 37,551\,879\,448\,54$$

e due medi di lunghezza pari a 2.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Esacontaedro pentagonale medio invertito, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.