Equivalenza logica

Nella logica e nella matematica, due proposizioni $p$ e $q$ si dicono logicamente equivalenti se hanno lo stesso valore di verità in ogni modello. L'equivalenza logica di $p$ e $q$ è a volte espressa come $p\equiv q$, $p::q$, ${\textsf {E}}pq$, o anche $p\iff q$, a seconda della notazione adottata. Tuttavia, questi simboli sono usati anche per l'equivalenza materiale, motivo per cui la corretta interpretazione dipende dal contesto: l'equivalenza logica è diversa dall'equivalenza materiale, sebbene i due concetti siano intrinsecamente correlati.

Equivalenze logiche

Nela logica esistono molteplici equivalenze enunciate come leggi o proprietà. Di seguito se ne riportano alcune.

Equivalenze logiche generali

Equivalenza	Nome
$p\wedge \top \equiv p$ $p\vee \bot \equiv p$	Leggi di identità
$p\vee \top \equiv \top$ $p\wedge \bot \equiv \bot$	Leggi di dominazione
$p\vee p\equiv p$ $p\wedge p\equiv p$	Leggi di idempotenza o tautologia
$\neg (\neg p)\equiv p$	Legge della doppia negazione
$p\vee q\equiv q\vee p$ $p\wedge q\equiv q\wedge p$	Leggi commutative
$(p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)$ $(p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)$	Leggi associative
$p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)$ $p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$	Leggi distributive
$\neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q$ $\neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q$	Leggi di De Morgan
$p\vee (p\wedge q)\equiv p$ $p\wedge (p\vee q)\equiv p$	Leggi di assorbimento
$p\vee \neg p\equiv \top$ $p\wedge \neg p\equiv \bot$	Leggi di negazione

Equivalenze logiche che coinvolgono affermazioni condizionali

1. $p\implies q\equiv \neg p\vee q$
2. $p\implies q\equiv \neg q\implies \neg p$
3. $p\vee q\equiv \neg p\implies q$
4. $p\wedge q\equiv \neg (p\implies \neg q)$
5. $\neg (p\implies q)\equiv p\wedge \neg q$
6. $(p\implies q)\wedge (p\implies r)\equiv p\implies (q\wedge r)$
7. $(p\implies q)\vee (p\implies r)\equiv p\implies (q\vee r)$
8. $(p\implies r)\wedge (q\implies r)\equiv (p\vee q)\implies r$
9. $(p\implies r)\vee (q\implies r)\equiv (p\wedge q)\implies r$

Equivalenze logiche che coinvolgono bicondizionali

1. $p\iff q\equiv (p\implies q)\wedge (q\implies p)$
2. $p\iff q\equiv \neg p\iff \neg q$
3. $p\iff q\equiv (p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)$
4. $\neg (p\iff q)\equiv p\iff \neg q$

Esempi

Nella logica

Le seguenti affermazioni sono logicamente equivalenti:

1. Se Lisa è in Danimarca, allora è in Europa (una dichiarazione del tipo $d\implies e$),
2. Se Lisa non è in Europa, allora non è in Danimarca (una dichiarazione del tipo $\neg e\implies \neg d$).

Sintatticamente, la (1) e la (2) sono derivabili l'una dall'altra tramite le regole della contrapposizione e della doppia negazione. Semanticamente, la (1) e la (2) sono vere esattamente negli stessi modelli matematici (interpretazioni, valutazioni); vale a dire, quelli in cui o "Lisa è in Danimarca" è falsa o "Lisa è in Europa" è vera.

Si noti che in questo esempio si presuppone la logica classica. Alcune logiche non classiche non considerano la (1) e la (2) logicamente equivalenti.

Relazione con l'equivalenza materiale

L'equivalenza logica è diversa dall'equivalenza materiale. Le formule $p$ e $q$ sono logicamente equivalenti se e solo se l'affermazione della loro equivalenza materiale ($p\iff q$) è una tautologia.

L'equivalenza materiale di $p$ e $q$ (spesso scritta come $p\leftrightarrow q$) è esso stesso un'altra istruzione nello stesso linguaggio oggetto di $p$ e $q$.

Questa affermazione esprime l'idea che $p$ e se e solo se $q$. In particolare, il valore di verità di $p\leftrightarrow q$ può cambiare da un modello all'altro.

D'altra parte, l'affermazione che due formule sono logicamente equivalenti è un'affermazione nel metalinguaggio, che esprime una relazione tra le due affermazioni $p$ e $q$ Le affermazioni sono logicamente equivalenti se hanno lo stesso valore di verità in ogni modello.

Collegamenti esterni

• (EN) logical equivalence, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Equivalenza logica, su MathWorld, Wolfram Research.