Equazione di Legendre

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In matematica, l'equazione di Legendre, il cui nome si deve a Adrien-Marie Legendre, è un'equazione differenziale lineare del secondo ordine che ha la forma:

dove si è utilizzata la notazione di Lagrange per le derivate totali.

Si tratta di un problema di Sturm-Liouville con , e coefficiente uguale a 1. Si può scrivere anche nella forma:

L'equazione[modifica | modifica wikitesto]

Nella forma più generale:

oppure:

Le loro soluzioni generali, chiamate armoniche sferiche, sono esprimibili come combinazione lineare:

dove e sono soluzioni parziali linearmente indipendenti, chiamate funzioni sferiche.

L'equazione di Legendre è legata all'equazione di Laplace in coordinate sferiche:

con la condizione al contorno:

dove è un intero positivo. Si tratta di un classico problema fisico a simmetria sferica, trattato nelle coordinate polari , ed è facilmente risolubile tramite il metodo della separazione delle variabili. Cioè, supponendo che la soluzione sia una funzione data dal prodotto di due funzioni indipendenti:

da cui, sostituendo e moltiplicando per si ottiene:

dalla quale si vede che deve essere:

Ricordando poi la condizione di periodicità, la costante di separazione dovrà essere pari a con m numero intero. Si ha dunque come soluzione della parte in :

mentre si vede che la parte in deve soddisfare la relazione:

.

Per risolvere quest'ultima converrà fare un cambiamento di variabile e sostituire e si ritrova:

Nella forma:

è a sua volta un caso particolare del problema di Sturm-Liouville.

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