Densità degli stati

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In meccanica quantistica, un sistema non può assumere energie arbitrarie, ma è invece vincolato ad occupare dei livelli energetici discreti. A ciascun livello possono corrispondere uno o più stati quantistici. In questo contesto, la densità degli stati è una distribuzione usata in fisica statistica e dello stato solido per indicare quanti stati siano potenzialmente disponibili a un dato sistema quantistico a una data energia.

Definizione ed applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

La densità degli stati è definita come il numero degli stati disponibile a un sistema quantistico in un intervallo di energia di ampiezza centrato in diviso per l'ampiezza stessa di tale intervallo,[1]

Tramite la relazione di dispersione , che lega l'energia di uno stato al suo impulso , si può scrivere la densità di stati come

con la distribuzione delta di Dirac, e il fattore di degenerazione legato allo spin. Per esempio, se lo spin è , sarà . In generale infatti: dove è appunto il numero di spin.

Nel limite termodinamico in cui in un intervallo di energia di ampiezza sia contenuto un numero elevato di stati, la somma nell'espressione precedente può essere estesa a un integrale dove la misura dello spazio degli impulsi è , ottenendo così l'espressione[2]

Le densità di stati così ottenute possono successivamente essere usate come pesi per calcolare osservabili termodinamiche in maniera agevole tramite la trasformazione

che rimpiazza un integrale in variabili con un integrale in una sola variabile. Questo cambio di variabili è vantaggioso qualora la funzione di distribuzione del sistema e le osservabili di interesse siano esprimibili in maniera semplice in termini dell'energia.

Esempio: gas di fermioni liberi[modifica | modifica wikitesto]

La relazione di dispersione del sistema è semplicmente , con la massa delle particelle. Il calcolo della in tre dimensioni porta a [2]

Ricordando che i fermioni seguono la statistica di Fermi-Dirac

dove è il potenziale chimico, la temperatura e la costante di Boltzmann e che, a , è una funzione gradino che vale per e altrimenti, si può calcolare, ad esempio, il numero di particelle nel sistema in funzione dell'energia di Fermi è dato da

mentre a temperatura finita diviene

Riferimenti[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ IUPAC Gold Book
  2. ^ a b L. Pitaevskii e S. Stringari, "Bose-Einstein condensation and superfluidity", Oxford Science Publications, Oxford, UK, 2016.
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