Congettura di Borsuk

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In matematica, la congettura di Borsuk è un problema di geometria discreta.

Il problema[modifica | modifica wikitesto]

Nel 1932 Karol Borsuk mostrò che una qualsiasi palla 3-dimensionale in uno spazio euclideo poteva essere divisa in 4 solidi, ognuno dei quali aveva diametro inferiore a quello della palla iniziale. Più in generale, Borsuk mostrò che ogni palla d-dimensionale poteva essere divisa in d+1 solidi di diametro minore. Inoltre, provò anche che questo non era possibile con solo d solidi. Questo portò Borsuk a porsi una domanda, divenuta la congettura di Borsuk:

La seguente questione rimane aperta: Può ogni sottinsieme limitato E di essere diviso in n+1 insiemi, ognuno dei quali ha diametro minore di E?[1]

Il problema ha trovato una risposta positiva nei seguenti casi:

Il problema fu infine risolto nel 1993 da Jeff Kahn e Gil Kalai, che mostrarono che la risposta in generale è negativa[2]. Il loro controesempio mostrava che d+1 solidi non sono sufficienti per d = 1325 e per ogni d > 2014. Il miglior risultato attuale afferma che il problema ha risposta negativa per ogni d ≥ 64.[3][4]

Oltre a trovare il minimo d per cui il numero di pezzi necessari è maggiore di d+1, è interessante anche studiare il comportamento della funzione . Kahn e Kalai mostrarono nel loro lavoro che in generale . Inoltre, Oded Schramm dimostrò che per ogni ε, se d è abbastanza grande, . L'ordine di grandezza di è tuttora sconosciuto, anche se è stato congetturato che esiste una costante c > 1 tale che per ogni d ≥ 1.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ K. Borsuk, Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre, "Fundamenta Mathematicae", 20 (1933). 177–190
  2. ^ Jeff Kahn e Gil Kalai, A counterexample to Borsuk's conjecture, in Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 29, 1993, pp. 60–62, arXiv:math.MG/9307229, DOI:10.1090/S0273-0979-1993-00398-7, MR 1193538.
  3. ^ Andriy V. Bondarenko, On Borsuk's conjecture for two-distance sets
  4. ^ Thomas Jenrich, A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk's conjecture

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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