Circumconica

In geometria, una circumconica è una sezione conica che passa per i vertici di un triangolo, e sottostà a determinate caratteristiche; essa può essere una circumparabola, una circumiperbole o una circumellisse, che rappresentano generalmente delle classi e non una conica ben precisa, mentre è unico invece il caso più classico di circumconica che è il circumcerchio.

Caratteristiche generali

Ogni circumconica, ha una equazione trilineare del tipo

${\frac {x}{\alpha }}+{\frac {y}{\beta }}+{\frac {z}{\gamma }}=0$

Dove x, y e z rappresentano delle funzioni delle lunghezze dei lati e concorrono a individuare le coordinate trilineari del centro della circumconica nel seguente modo

x(-ax + by + cz) : y() : z(ax + by - cz)

Le tangenti invece nei vertici hanno equazioni:

by + cz = 0, di A

ax + cz = 0, di B

ax + by = 0 di C

Il coniugato isogonale di una qualsiasi di queste coniche è una specifica retta, dalla funzione

$x\alpha +y\beta +z\gamma =0$

che:

• non tocca il circumcerchio se la circumconica è una ellisse
• lo tange in un punto se è una parabola
• lo interseca se è una iperbole.

Circumellisse

La circumellisse dunque è una ellisse che passa per tutti e i vertici di un triangolo. La sua area può essere calcolata come segue:

$A={\frac {2\pi abcxyz}{\sqrt {[2(abxy+bcyz+acxz)-(a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}c^{2}z^{2})]^{3}}}}$

oppure se si conoscono le lunghezze delle corde d^a d^b d^c, ovvero le corde passanti per il centro dell'ellisse e parallele al rispettivo lato a, b o c. può essere calcolata come segue.

$A={\frac {\pi d_{a}d_{b}d_{c}}{8R}}$

ove R è il circumraggio.

Voci correlate

• Sezione conica
• Inconica

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Circumconica, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Eric W. Weisstein, Circumellisse, in MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Eric W. Weisstein, Circumiperbole, in MathWorld, Wolfram Research.