Corda (geometria)

La linea rossa $BX$ è una corda.

In geometria, una corda (o sottesa di una curva) è un segmento i cui estremi giacciono sulla curva stessa. Nel particolare caso in cui la curva sia una circonferenza, una corda è un segmento determinato da una qualsiasi coppia di punti di una circonferenza. La retta che contiene una corda è chiamata secante alla curva.

Corde di una circonferenza

Tra le proprietà delle corde di una circonferenza vi sono le seguenti:

1. Due corde sono equidistanti dal centro se e solo se hanno la stessa lunghezza.
2. L'asse di una corda passa per il centro della circonferenza.
3. Se le rette (linee secanti) che contengono le corde $AB$ e $CD$ si intersecano in un punto $P$, allora le loro lunghezze soddisfano la relazione ${\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}={\overline {PC}}\cdot {\overline {PD}}$ (si veda potenza di un punto o teorema delle due corde).
4. La corda di lunghezza massima in una determinata circonferenza è uno qualsiasi dei suoi diametri.

La porzione di piano limitata da un arco e dalla corda che lo sottende è chiamata segmento circolare.

Corde in trigonometria

La funzione trigonometrica corda.

Le corde vennero ampiamente utilizzate nello sviluppo iniziale della trigonometria. La prima tavola trigonometrica nota, compilata da Ipparco di Nicea, tabulava il valore della funzione corda per ogni 7,5 gradi.

La funzione corda è definita geometricamente come mostrato nell'immagine. La corda di un angolo è la lunghezza della corda tra due punti separati da tale angolo su una circonferenza di raggio unitario. Prendendo uno dei punti come zero, essa può essere correlata alla moderna funzione trigonometrica del seno:

$\operatorname {crd} \ \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}=2\sin {\frac {\theta }{2}}.$

L'ultimo passaggio utilizza le formule di bisezione. Gran parte della trigonometria moderna si basa sulla funzione seno, mentre la trigonometria antica era costruita sulla base della funzione corda. Ipparco scrisse un'opera in dodici volumi sulle corde. La funzione corda soddisfa molte identità analoghe alle ben note identità moderne:

Nome	Basata sul seno	Basata sulla corda
Identità pitagorica	$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$	$\operatorname {crd} ^{2}\theta +\operatorname {crd} ^{2}(180^{\circ }-\theta )=4$
Formula di bisezione	$\sin {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}$	$\operatorname {crd} \ {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {2-\operatorname {crd} (180^{\circ }-\theta )}}$

La formula di bisezione semplificava enormemente la creazione di tavole delle corde. Le antiche tavole delle corde usavano solitamente un valore grande per il raggio della circonferenza, in modo tale che fosse sufficiente riscalare il risultato per determinare la corda necessaria per qualsiasi cerchio. Secondo G. J. Toomer, Ipparco usò una circonferenza di raggio 3438' (= 3438/60 = 57,3). Questo valore è estremamente vicino a $180/\pi$ (= 57,29577951...). Un vantaggio di questa scelta del raggio era che permetteva di approssimare in modo molto preciso la corda di un angolo piccolo. In termini moderni, consentiva una semplice approssimazione lineare:

${\frac {3438}{60}}\operatorname {crd} \ \theta =2{\frac {3438}{60}}\sin {\frac {\theta }{2}}\approx 2{\frac {3438}{60}}{\frac {\pi }{180}}{\frac {\theta }{2}}=\left({\frac {3438}{60}}{\frac {\pi }{180}}\right)\theta \approx \theta .$

Calcolo della lunghezza di una corda

Quando la lunghezza di una corda è incognita, è possibile calcolarla a partire da altri dati; la seguente tabella riassume le formule adeguate per ottenerla.

Dati iniziali	Raggio $r$	Diametro $d$
Freccia o saetta $s$	$c=2{\sqrt {s(2r-s)}}$	$c=2{\sqrt {s(d-s)}}$
Apotema $a$	$c=2{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}$	$c={\sqrt {d^{2}-4a^{2}}}$
Angolo $\theta$	$c=2r\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)$	$c=d\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)$

Dove i simboli rappresentano rispettivamente: $c$ la lunghezza della corda (da calcolare), $s$ la saetta o freccia, $a$ l'apotema, $r$ il raggio, $d$ il diametro e $\theta$ l'angolo al centro che sottende l'arco di circonferenza corrispondente alla corda in questione.

La freccia, detta anche saetta, è l'altezza massima dell'arco circolare, si misura dal punto medio della corda fino allo zenit (o apice) dell'arco circolare stesso. Ha direzione radiale (è perpendicolare alla corda) e la sua lunghezza è data da $s=r-a.$

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Collegamenti esterni

• (EN) Storia della trigonometria
• (EN) Storia delle funzioni trigonometriche
• (EN) Corda (di un cerchio), con animazione interattiva

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