Segmento circolare

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Rappresentazione di un segmento circolare, in cui: è il raggio, è la lunghezza della corda (linea tratteggiata), è la lunghezza dell'arco, è l'angolo al centro che insiste sull'arco, è l'altezza della porzione triangolare, è la saetta, ossia l'altezza del segmento circolare in verde.

In geometria, un segmento circolare è una porzione di cerchio delimitata da una secante (o corda).

La corda o secante definisce due segmenti circolari, uno dei quali è contrassegnato in verde nell'illustrazione, mentre l'altro è in bianco.

Formula principale[modifica | modifica wikitesto]

L'area del segmento circolare è uguale alla differenza tra l'area del settore circolare definito da e l'area della porzione triangolare.

La lunghezza del raggio è uguale alla somma delle due altezze: .

Per l'arco , con espresso in radianti.

Per l'area si avrà: . In alternativa si può usare questa formula che non fa uso di funzioni trigonometriche né dell'angolo ma solo di lunghezze: .

Dimostrazione: l'area si ottiene come differenza tra l'area del settore circolare e del triangolo inscritto ossia: .

Per la corda (dal teorema della corda): .

L'altezza della porzione triangolare è .

L'altezza del segmento è .

Formula approssimata[modifica | modifica wikitesto]

Poiché per è possibile approssimare la funzione utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor arrestato al 2° termine, ossia:

Per la lunghezza della corda si approssima con la seguente formula:

dunque

Analogamente, noti e è possibile ricavare e per :

Area in funzione dell'altezza[modifica | modifica wikitesto]

Segmento circolare in funzione dell'altezza h

Calcolo dell'area del segmento in funzione dell'altezza .

L'area del settore è data da:

L'area del triangolo isoscele è data dal prodotto del segmento per la semicorda del settore circolare:

L'area segmento è data dalla differenza dell'area del settore e l'area del triangolo isoscele:

L'area è una funzione trascendente di e , quindi non può essere espressa in termini algebrici. Ma si può affermare che man mano che l'angolo al centro diventa più piccolo (o alternativamente il raggio diventa più grande), l'area si avvicina rapidamente e asintoticamente a . Se , allora è sostanzialmente una buona approssimazione.

Quando l'angolo al centro si avvicina a , l'area del segmento converge all'area di un semicerchio , quindi una buona approssimazione è:

per

Calcolo della corda in funzione dell'altezza:

Calcolo dell'arco in funzione dell'altezza:

Calcolo del baricentro[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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