Cerchio di Carlyle

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In matematica, il cerchio di Carlyle è un sistema semplice e ingegnoso per risolvere per via geometrica (con l'uso di soli riga e compasso) un'equazione di secondo grado. Prende il nome da Thomas Carlyle il quale, prima di dedicarsi alla storia e alla filosofia, in gioventù aveva mostrato notevoli doti come matematico.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Data l'equazione

in cui e sono segmenti di lunghezza data (con segno), è sufficiente disegnare su un piano cartesiano i punti e . Costruito un cerchio il cui diametro è identificato dai punti e , se tale cerchio interseca l'asse delle , i punti e di intersezione sono le soluzioni reali dell'equazione data.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Fig. 1: Cerchio di Carlyle per p < 0
Fig. 2: Cerchio di Carlyle per p > 0

Primo modo[modifica | modifica wikitesto]

A destra è riportata le descrizione dei due casi principali, per maggiore o minore di zero. In entrambi i casi è semplice verificare che

Se (figura 1), per il teorema delle corde abbiamo la seguente equivalenza:

ovvero

Per (figura 2) si può analogamente arrivare al risultato

Ricapitolando, in entrambi i casi abbiamo:

Di conseguenza, sviluppando l'espressione di partenza otteniamo che

da cui risulta evidente che e sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado originale; notare che in questa costruzione, rappresenta la somma delle soluzioni e il prodotto: il cerchio di Carlyle consente quindi di trovare in modo semplice le soluzioni di un'equazione di secondo grado in cui sono noti la somma e il prodotto delle radici.

Secondo modo[modifica | modifica wikitesto]

Un'altra dimostrazione è ricavabile mediante le regole della geometria analitica.

Sia C centro del cerchio di diametro e . Esso è il punto medio del segmento :

Il raggio del cerchio è il segmento :

Data l'equazione analitica del cerchio:

Le intersezioni con l'asse , chiamate e , sono le soluzioni del sistema:

e sono pertanto le soluzioni dell'equazione

Da cui:

e sono pertanto le soluzioni di questa equazione, come volevasi dimostrare.

Variante[modifica | modifica wikitesto]

Il centro del cerchio di Carlyle si trova, per costruzione, nel punto medio del segmento . Usando solo riga e compasso, non è immediato determinare il punto : una soluzione che rende più efficiente la costruzione è di tracciare un segmento , il cui punto medio coincide con . Per tracciare tale segmento basta riportare sull'asse delle , mentre sull'asse delle va riportato il punto .

Usi del cerchio di Carlyle[modifica | modifica wikitesto]

Il cerchio di Carlyle è della massima utilità nella costruzione esatta dei poligoni regolari con l'uso di soli riga e compasso. Con un cerchio di Carlyle infatti si costruisce agevolmente un pentagono regolare mentre, con elaborazioni via via più complesse, si possono costruire anche l'ettadecagono, il 257-gono e il 65537-gono.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]