Algebra graduata

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In matematica, in particolare nell'algebra astratta, un'algebra graduata è un'algebra su campo (o anello commutativo), con un ulteriore pezzo della struttura, conosciuta come una gradazione (o classificazione).

Gli anelli graduati[modifica | modifica sorgente]

Un anello graduato A è un anello tale che esista una famiglia \{A_n\}_{n\in\mathbb{N}} di sottogruppi abeliani additivi di (A,+) che decompongano A in una somma diretta:

A = \bigoplus_{n\in \mathbb N}A_n = A_0 \oplus A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots

in modo tale che l'anello moltiplicativo soddisfi la seguente proprietà:

x \in A_s, y \in A_r \implies xy \in A_{s+r}

ovvero

 A_s A_r \subseteq A_{s + r}

per tutti gli indici r,s\in\mathbb{N}.

Gli elementi A_n sono noti come elementi omogenei di grado n. Dalla definizione segue immediatamente che ogni elemento a\in A ammette una decomposizione unica come somma:

 a=\sum _{n} a_n

dove a_n\in A_n per tutti gli n\in\mathbb{N}; gli elementi a_n sono talvolta chiamati parti omogenee di a.

Un sottoinsieme ideale oppure un sottoinsieme \mathfrak{a}A è omogeneo se per ogni elemento a\mathfrak{a}, le parti omogenee di a sono pure contenute in \mathfrak{a}.

Se I è un insieme omogeneo ideali in A, allora A/I è un anello graduato e possiede la seguente decomposizione:

A/I = \bigoplus_{n\in \mathbb N}(A_n + I)/I.

L'algebra graduata[modifica | modifica sorgente]

Un'algebra A su un anello R è un'algebra graduata se è graduato come un anello. Nel caso in cui un anello R è anche un anello graduato, allora si richiede che:

  1. AiRjAi+j, e
  2. RiAjAi+j.

Si noti che la definizione di 'anello graduato su un anello non graduato' è il caso particolare della definizione di quest'ultimo dove "R" è graduato in modo banale (ogni elemento della "R" è di grado zero).

Superalgebra[modifica | modifica sorgente]

In matematica e in fisica teorica una superalgebra è una Z2- algebra graded (algebra graduata)[1]. Vale a dire, si tratta di un'algebra su un anello commutativo o un campo che si decompone in un pezzo "pari" e uno "dispari" ovvero è un operatore moltiplicativo che rispetta la separazione in pezzi "pari" e "dispari".

Il prefisso super- deriva dalla teoria della supersimmetria in fisica teorica. Le superalgebre e le loro rappresentazioni, i supermoduli, forniscono un quadro algebrico per la formulazione della supersimmetria [2]. Lo studio di tali oggetti a volte è pure chiamato super algebra lineare.

Definizione formale[modifica | modifica sorgente]

Sia K un fissato anello commutativo; nella maggior parte delle applicazioni K è un campo come R o C.

Una superalgebra su K è un K-modulo A con una decomposizione in una somma diretta:

A = A_0\oplus A_1

con una moltiplicazione bilineare A × AA tale che:

A_iA_j \sube A_{i+j}

con gli indici che hanno modulo 2.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Kac, Martinez & Zelmanov (2001) .
  2. ^ Introducing supersymmetry, M. F. Sohnius, 1985

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Bourbaki, N. (1974) Algebra I (Chapters 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Chapter 3, Section 3.
  • Junker G. Supersymmetric Methods in Quantum and Statistical Physics, Springer-Verlag (1996).
  • Kane G. L., Shifman M., The Supersymmetric World: The Beginnings of the Theory World Scientific, Singapore (2000). ISBN 981-02-4522-X.
  • Weinberg Steven, The Quantum Theory of Fields, Volume 3: Supersymmetry, Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 0-521-66000-9.
  • Wess, Julius, and Jonathan Bagger, Supersymmetry and Supergravity, Princeton University Press, Princeton, (1992). ISBN 0-691-02530-4.
  • Bennett GW, et al; Muon (g−2) Collaboration, Measurement of the negative muon anomalous magnetic moment to 0.7 ppm in Physical Review Letters, vol. 92, n. 16, 2004, p. 161802. DOI:10.1103/PhysRevLett.92.161802, PMID 15169217.
  • (EN) Cooper F., A. Khare, U. Sukhatme. Supersymmetry in Quantum Mechanics, Phys. Rep. 251 (1995) 267-85 (arXiv:hep-th/9405029).
  • (EN) D.V. Volkov, V.P. Akulov, Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 16 (1972) 621; Phys. Lett. B46 (1973) 109.
  • (EN) V.P. Akulov, D.V. Volkov, Teor.Mat.Fiz. 18 (1974) 39.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]