Proiezione stereografica

Proiezione stereografica

In geometria e in cartografia per proiezione stereografica si intende la proiezione dei punti sulla superficie di una sfera da un punto N della sfera stessa (che spesso viene chiamato polo Nord della sfera) sopra un piano che è, solitamente, o il piano equatoriale, o il tangente alla sfera nel suo punto (antipodale ad N) chiamato S, polo Sud.

Questa proiezione determina una corrispondenza biunivoca tra i punti della sfera privata di N e i punti del piano. Questa può estendersi ad una corrispondenza biunivoca tra punti della sfera e i punti del piano ampliato con un punto all'infinito: basta far corrispondere a questo il polo Nord.

Questa proiezione associa alle circonferenze ottenute intersecando la sfera con piani paralleli a quello tangente in S delle circonferenze del piano aventi centro in S. Unico punto fisso della proiezione è S, punto limite delle circonferenze precedenti.

In cartografia una proiezione stereografica della Terra è detta polare, equatoriale o obliqua in funzione della scelta del punto di proiezione (un polo, un punto sull'equatore, o altrove).

Definizione

Panorama con proiezione stereografica della cima Dent de Vaulion nel Canton Vaud, Svizzera

La sfera unitaria nello spazio tridimensionale R³ è l'insieme dei punti (x, y, z) tali che x² + y² + z² = 1. Sia N = (0, 0, 1) il "polo nord", e sia M il resto della sfera. Il piano z = 0 passa per il centro della sfera; l'"equatore" è l'intersezione della sfera con questo piano.

Per ogni punto P su M, esiste un'unica retta passante per N e P, e questa retta interseca il piano z = 0 in un unico punto P'. Si dice proiezione stereografica di P questo punto P' nel piano.

Esprimiamo la proiezione stereografica in formule esplicite. In coordinate cartesiane (x, y, z) sulla sfera e (X, Y) sul piano, la proiezione e la sua inversa sono date dalle formule

$(X,Y)=\left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right),$

$(x,y,z)=\left({\frac {2X}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {2Y}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {-1+X^{2}+Y^{2}}{1+X^{2}+Y^{2}}}\right).$

Proprietà

Ipparco di Nicea mostrò che la proiezione stereografica è una proiezione conforme (mantiene gli angoli, cioè ha modulo di deformazione lineare costante e modulo di deformazione angolare nullo)) e che l'immagine di una circonferenza può essere solo una retta o una circonferenza).

Voci correlate

• Cartografia
• Proiezione cartografica
• Proiezione conforme
• Sfera di Riemann

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• Stereographic Projection in MathWorld
• (EN) Dissemination of IT for the Promotion of Materials Science (DoITPoMS), "The stereographic projection", su doitpoms.ac.uk.
• Tutorial per realizzare una proiezione stereografica con Gimp, su mora-foto.it.