Linea di trasmissione

Modello generale di linea di trasmissione

In elettronica ed elettrotecnica la linea di trasmissione è il componente elettronico per trasportare segnali su grandi distanze.

Nel modello più generale una linea di trasmissione può essere schematizzata come due conduttori paralleli che connettono un generatore $V(x,t)$ ed un carico. In figura è mostrato un modello generale della linea di trasmissione: essa è un tipico elemento a costanti distribuite, perciò si considerano tutti gli elementi per unità di lunghezza, cioè considereremo la lunghezza tra i punti $A,A'$ e i punti $B,B'$ una lunghezza $dx$. Come si vede dalla figura bisogna tenere in considerazione diversi elementi: intanto i due conduttori paralleli hanno una loro resistenza $R_{A}$ ed $R_{B}$ ed una loro induttanza $L_{A}$ ed $L_{B}$ che sono responsabili di cadute di potenziale sulla linea. Poi bisogna tenere presente della conduttanza $G$ e della capacità $C$ tra i due conduttori. Tutti questi elementi, normalmente, sono forniti per unità di lunghezza, cioè ad esempio:

$R_{A}^{T}=R_{A}dx$

dove $R_{A}^{T}$ è la resistenza totale nel tratto $dx$.

Cadute di tensione e di corrente

Nel modello della linea di trasmissione vi sono cadute di tensione tra $A,A'$ e tra $B,B'$, dovute alle resistenze ed alle induttanze, che sono quantificabili sempre nel tratto $x,x+dx$ come:

$dV_{A}=V_{A'}(x+dx,t)-V_{A}(x,t)=-R_{A}^{T}\cdot I(x,t)-L_{A}^{T}{\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}$

$dV_{B}=V_{B'}(x+dx,t)-V_{B}(x,t)=-R_{B}^{T}\cdot I(x,t)-L_{B}^{T}{\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}$

per cui la variazione di tensione nel tratto $x,x+dx$ è:

$V(x+dx)-V(x)=\left[V_{A'}(x+dx,t)-V_{B'}(x+dx,t)\right]-\left[V_{A}(x,t)-V_{B}(x,t)\right]=-(R_{A}^{T}+R_{B}^{T})I(x,t)-(L_{A}^{T}-L_{B}^{T}){\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}=$

$=-(R_{A}+R_{B})dx\cdot I(x,t)-(L_{A}-L_{B})dx\cdot {\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}=-Rdx\cdot I(x,t)-Ldx\cdot {\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}$

dove $R=R_{A}+R_{B}$ ed $L=L_{A}+L_{B}$. In definitiva, differenziando (in $dx$):

${\frac {\partial V(x,t)}{\partial x}}=-RI(x,t)-L{\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}$

si nota che la variazione della tensione dovuta al termine resistivo è lineare e decrescente, mentre la variazione della tensione per il termine induttivo dipende dal segno della derivata della corrente, quindi può essere decrescente o crescente.

Per quanto riguarda le perdite di corrente vediamo che sono attribuibili alla presenza di una conduzione (G, conduttanza elettrica è l'inverso della resistenza elettrica) e di una capacità (C) tra i due conduttori della linea. Nel tratto $x,x+dx$:

$dI_{(G)}(x,t)=-G^{T}V(x,t)$

$dI_{(C)}(x,t)=-C^{T}{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}$

per cui la variazione di corrente dipende dal segno di $V(x,t)$ come si vede in figura: $V_{A}>V_{B}$ quindi la corrente fluisce da $A$ verso $A'$, viceversa fluisce una corrente opposta da $B'$ a $B$. Dunque la perdita di corrente, differenziando, è:

${\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}=-GV(x,t)+C{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}$

Le equazioni generali della linea di trasmissione sono:

(1)${\frac {\partial V(x,t)}{\partial x}}=-RI(x,t)-L{\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}$

(2)${\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}=-GV(x,t)-C{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}$

dove, come detto, R, G, L, e C sono considerate per unità di lunghezza. Imponendo le opportune condizioni al contorno per queste due equazioni si hanno le soluzioni generali.

Linea non dissipativa

Il caso di linea non dissipativa implica che $R=G=0$ e le equazioni (1) e (2) si riducono a:

(3) ${\frac {\partial V(x,t)}{\partial x}}=-L{\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}$

(4) ${\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}=-C{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}$

derivando la (3) rispetto a x e la (4) rispetto a t:

${\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial x^{2}}}=-L{\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial x\partial t}}$

${\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial x\partial t}}=-C{\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial t^{2}}}$

che uguagliando danno:

(5) ${\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial x^{2}}}-LC{\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial t^{2}}}=0$

e analogamente derivando la (3) rispetto a t e la (4) rispetto a x:

(6) ${\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial x^{2}}}-LC{\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial t^{2}}}=0$

queste due equazioni sono due tipiche equazioni delle onde unidimensionale con velocità costante pari a:

(7) $v={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$ .

In generale, per un'onda elettromagnetica all'interno di un mezzo, si ha che:

(8)$v={\frac {1}{\sqrt {\mu \epsilon }}}$

che prende il nome di velocità di fase, $\mu$ è la permeabilità magnetica e $\epsilon$ è la costante dielettrica del mezzo e quindi, confrontando la (7) e la (8):

(9)$LC=\mu \epsilon$

La soluzione generale delle (5) e (6) è del tipo:

$V(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)$

$I(x,t)={\frac {1}{R_{0}}}[f(x-vt)-g(x+vt)]$

cioè in generale possono coesistere onde di tensione e di corrente sia progressive che regressive, è chiaro che la soluzione esplicita dipende dalla forma della tensione d'ingresso $V(x,t)$. Si può ricavare l'espressione esplicita della costante $R_{0}$ per confronto delle due soluzioni:

(10)$R_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}$

che si chiama impedenza caratteristica della linea. Da notare che le soluzioni sono quelle senza dissipazione e quindi nell'approssimazione di linea di lunghezza infinita e i campi sono di tipo TEM (trasversi elettromagnetici).

Linea in regime sinusoidale

Vediamo il caso notevole di generatore di onda sinusoidale. Per fare ciò trasformiamo le nostre equazioni (1) e (2) in modo da poter usare il metodo simbolico:

(11) ${\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial x^{2}}}-\delta ^{2}V(x,t)=0$

(12) ${\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial x^{2}}}-\delta ^{2}I(x,t)=0$

dove

(13) $\delta ={\sqrt {ZY}}={\sqrt {(R+j\omega L)(G+j\omega C)}}={\sqrt {LC}}{\sqrt {-\omega ^{2}+j\omega \left({\frac {R}{L}}+{\frac {G}{C}}\right)+{\frac {RG}{LC}}}}$

è il parametro di propagazione, dove $Z=R+j\omega L$ ed $Y=G+j\omega C$ sono l'impedenza e l'ammettenza della linea, j è l'unità immaginaria e $\omega$ è la frequenza angolare o pulsazione.

La soluzione generale di queste equazioni telegrafiche è:

$z(x)=c_{1}e^{-\delta x}+c_{2}e^{\delta x}$

per esmpio per la tensione otteniamo:

$V(x)=a_{1}e^{-\delta x}+a_{2}e^{\delta x}=a_{1}e^{-\alpha x}e^{-j\beta x}+a_{2}e^{\alpha x}e^{j\beta x}$

dove

$\delta =\alpha +j\beta$ in modo che $\alpha$ rappresenta la costante di attenuazione dell'onda e $\beta$ è la phase-shift cioè la costante di fase. Esplicitando per ottenere la soluzione reale:

(14) $V(x,t)=a_{1}e^{-\alpha x}\cos(\omega t-\beta x+\phi _{1})+a_{2}e^{\alpha x}\cos(\omega t+\beta x+\phi _{2})$

e analogamente:

(14') $I(x,t)={\frac {a_{1}}{Z_{0}}}e^{-\alpha x}\cos(\omega t-\beta x+\phi _{1}-\varphi )-{\frac {a_{2}}{Z_{0}}}e^{\alpha x}\cos(\omega t+\beta x+\phi _{2}-\varphi )$

per l'onda di corrente, dove $Z_{0}={\sqrt {\frac {Z}{Y}}}$, inoltre sussiste una fase $\varphi$ dovuta alla presenza di $Z_{0}$. Dalla (14) si vede bene che coesistono due onde, una progressiva e una regressiva, la cui ampiezza si attenua esponenzialmente (per le dissipazioni) come $\alpha$ (analogamente per l'onda di corrente). La velocità di propagazione è la velocità di fase:

(15) $v={\frac {dx}{dt}}={\frac {\omega }{\beta }}$

con lunghezza d'onda:

$\lambda ={\frac {2\pi }{\beta }}={\frac {2\pi v}{\omega }}={\frac {v}{\nu }}={\frac {v}{T}}$

utilizzando le quali possiamo dare un'altra forma alla (14):

(16) $V(x,t)=a_{1}e^{-\alpha x}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t-{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{1}\right)+a_{2}e^{\alpha x}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t-{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{2}\right)$

Regime sinusoidale non dissipativo

Nel caso non dissipativo, cioè qualora $R=G=0$, l'espressione del parametro $\delta$ si riduce a:

$\delta =j\omega {\sqrt {LC}}$

infatti in tal caso $\alpha =0$, quindi non vi è attenuazione e $\beta =\omega {\sqrt {LC}}$. La velocità di fase diventa:

$v={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

La (16) diventa in questo caso:

$V(x,t)=a_{1}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t-{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{1}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t-{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{2}\right)$

dove al solito $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$. Il parametro $\tau _{0}={\sqrt {LC}}$ rappresenta il ritardo per unità di lunghezza della linea di trasmissione, che ci dice come le linee di trasmissione propaghino i segnali con ritardo, ma senza attenuazione del segnale.

Un caso particolare per l'onda di corrente (14') è quando la fase $\varphi$ si annulla:

$\varphi ={\frac {1}{2}}\arctan {\frac {\omega (GL-RC)}{RG+\omega ^{2}LC}}$

ciò avviene per:

$R=G=0$

che corrisponde di nuovo alla condizione non dissipativa. In tal caso $Z_{0}$ si riduce ad essere reale:

$R_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}$

e l'onda di corrente si riduce a:

$I(x,t)={\frac {a_{1}}{R_{0}}}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t-{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{1}\right)-{\frac {a_{2}}{R_{0}}}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t-{\frac {2\pi }{\lambda }}x+\phi _{2}\right)$

Caso non distorcente

Dalla (13):

$\delta ={\sqrt {LC}}{\sqrt {-\omega ^{2}+j\omega \left({\frac {R}{L}}+{\frac {G}{C}}\right)+{\frac {RG}{LC}}}}$

si vede che nel caso in cui è verificata la condizione:

(17) ${\frac {R}{L}}={\frac {G}{C}}\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,RC=GL$

si ha:

$\delta =\alpha +j\beta ={\sqrt {LC}}\left({\frac {R}{L}}+j\omega \right)$

con:

$\alpha =R{\sqrt {\frac {C}{L}}}$

e

$\beta =\omega {\sqrt {LC}}$

in tal caso $\alpha$ non dipende più dalla frequenza, e $\beta$ è linearmente crescente con la frequenza, mentre la velocità di propagazione non dipende dalla frequenza:

$v={\frac {\omega }{\beta }}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

Tutto ciò ci dice che la condizione (17) è la condizione di non distorsione, cioè la forma del segnale che si propaga entro la linea può essere attenuato ma mantiene la stessa forma originaria.

Per quanto riguarda l'onda di corrente (14') la condizione di non distorsione è sempre:

$GL=RC$

ed anche in tal caso la fase $\varphi$ si annulla e $Z_{0}=R_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}$.

Caratteristiche di alcune linee di trasmissione

Cavo Coassiale

In fuzione del raggio interno $r_{1}$ e di quello esterno$r_{2}$:

$C={\frac {2\pi \epsilon }{\ln {\frac {r_{2}}{r_{1}}}}}$

$L={\frac {\mu }{2\pi }}\ln {\frac {r_{2}}{r_{1}}}$

$v={\frac {1}{\sqrt {LC}}}={\frac {1}{\sqrt {\epsilon \mu }}}\approx {\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{r}\epsilon _{0}\mu _{0}}}}={\frac {c}{\sqrt {\epsilon _{r}}}}$

$R_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {\mu }{\epsilon }}}\ln {\frac {r_{2}}{r_{1}}}$

Dove $\epsilon _{0}$ e $\mu _{0}$ sono la costante dielettrica e la permeabilità magnetica nel vuoto, $\epsilon$ e $\mu$ riferite al dielettrico e $\epsilon _{r}$ e $\mu _{r}$ (generalmente uguale ad 1) sono i valori di costante elettrica e permeabilità magnetica relative; $c$ la velocità della luce nel vuoto. Come si può notare la velocità di trasmissione dipende, in sostanza, solo da ${\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{r}}}}$ e poichè per i cavi solitamente in commercio $\epsilon _{r}\approx 2$ si ha che $v\approx 0.7c$.

Linea bifilare

È la linea composta da due fili paralleli, ciascuno di raggio $r$ e posti a distanza $d$. Si ha:

$C={\frac {\pi \epsilon }{ln{\frac {d}{r}}}}$

$L={\frac {\mu }{\pi }}\ln {\frac {d}{r}}$

Voci correlate

• Circuito RC
• Circuito RL
• Circuito RLC
• Modello a linea di trasmissione

Links esterni

• Il comportamento delle linee di trasmissione in regime di onda progressiva;