Modulo di deformazione lineare[modifica | modifica wikitesto]

In cartografia, il modulo di deformazione lineare è l'indice di deformazione degli elementi sulla carta.

Si parla di "deformazione lineare" in quanto proiettando degli archi da una superficie sferoidale (costituita dalla Terra) ad una superficie piana (costituita dal foglio di carta) si ha (sul piano) una deformazione, che viene detta appunto "deformazione lineare".

Formulazione matematica[modifica | modifica wikitesto]

Per definizione il modulo di deformazione lineare^[1] è pari a:

$m_{L}={dS_{c} \over dS_{e}}$

$dS_{c}$ = lunghezza di un arco infinitesimo sulla superficie di riferimento
$dS_{e}$ = lunghezza dello stesso arco infinitesimo di riferimento sul piano della carta.

Utilizzando il teorema di Pitagora posso ricavare i seguenti valori delle grandezze:

$dS_{e}^{2}=\rho ^{2}d\varphi ^{2}+r^{2}d\lambda ^{2}$
$dS_{c}^{2}=dx^{2}+dy^{2}$

dove $\varphi$ è la Latitudine, $\lambda$ la Longitudine, $\rho$ il raggio di curvatura del meridiano, r il raggio del parallelo, dx la proiezione di $dS_{c}$ sull'asse delle ascisse nel sistema di riferimento della carta, dy la proiezione di $dS_{c}$ sull'asse delle ordinate nel sistema di riferimento della carta, $rd\lambda$ l'arco infinitesimo di parallelo e $\rho d\varphi$ l'arco infinitesimo di meridiano.

La rappresentazione dell'ellissoide sul piano è data dalle equazioni della carta, che sono in funzione di $\varphi$ e $\lambda$ : ${\begin{cases}x=f(\varphi ,\lambda )\\y=f(\varphi ,\lambda )\end{cases}}$

Considerando quest'ultime, si ricavano gli incrementi di ascissa e di ordinata di $dS_{c}$ : ${\begin{cases}dx={dx \over d\varphi }d\varphi +{dx \over d\lambda }d\lambda \\dy={dy \over d\varphi }d\varphi +{dy \over d\lambda }d\lambda \end{cases}}$

Ponendo l'uguaglianza tra $dS_{c}^{2}$ e $dS_{e}^{2}$ posso riscriverli come:

$dS_{c}^{2}={\Bigl (}{dx \over d\varphi }d\varphi +{dx \over d\lambda }d\lambda {\Bigr )}^{2}+{\Bigl (}{dy \over d\varphi }d\varphi +{dy \over d\lambda }d\lambda {\Bigr )}^{2}=$

$={\Bigl (}{dx \over d\varphi }{\Bigr )}^{2}d\varphi ^{2}+{\Bigl (}{dx \over d\lambda }{\Bigr )}^{2}d\lambda ^{2}+2{dx \over d\varphi }{dx \over d\lambda }d\varphi d\lambda +{\Bigl (}{dy \over d\varphi }{\Bigr )}^{2}d\varphi ^{2}+{\Bigl (}{dy \over d\lambda }{\Bigr )}^{2}d\lambda ^{2}+2{dy \over d\varphi }{dy \over d\lambda }d\varphi d\lambda =$

$=\left[{\Bigl (}{\frac {dx}{d\varphi }}{\Bigr )}^{2}+{\Bigl (}{dy \over d\varphi }{\Bigr )}^{2}\right]d\varphi ^{2}+\left[{\Bigl (}{\frac {dx}{d\lambda }}{\Bigr )}^{2}+{\Bigl (}{dy \over d\lambda }{\Bigr )}^{2}\right]d\lambda ^{2}+2\left[{\frac {dx}{d\varphi }}{dx \over d\lambda }+{dy \over d\varphi }{dy \over d\lambda }\right]d\varphi d\lambda =$

$=ed\varphi ^{2}+gd\lambda ^{2}+2fd\varphi d\lambda$

I parametri $e$ , $g$ ed $f$ prendono il nome di elementi fondamentali gaussiani.

Perciò sostituendo nella definizione di partenza avrò $m_{L}^{2}={ed\varphi ^{2}+gd\lambda ^{2}+2fd\varphi d\lambda \over \rho ^{2}d\varphi ^{2}+r^{2}d\lambda ^{2}}$

Posso riscrivere $m_{L}^{2}$ non più con $d\lambda$ e $d\varphi$ ma utilizzando solo $\alpha _{E}$ , cioè l'azimut dell’elemento lineare $dS_{e}$ sull’ellissoide (cioè l'angolo che l'elemento forma con il meridiano): $\tan \alpha _{E}={rd\lambda \over \rho d\varphi }\Longrightarrow \tan \alpha _{E}^{2}={r^{2}d\lambda ^{2} \over \rho ^{2}d\varphi ^{2}}\Longrightarrow {\rho ^{2} \over r^{2}}\tan ^{2}\alpha _{E}={d\lambda ^{2} \over d\varphi ^{2}}\Longrightarrow \rho ^{2}\tan ^{2}\alpha _{E}d\varphi ^{2}=r^{2}d\lambda ^{2}$

Si può sostituire $r^{2}d\lambda ^{2}$ in $m_{L}^{2}$ ottenendo $m_{L}^{2}={ed\varphi ^{2}+gd\lambda ^{2}+2fd\varphi d\lambda \over \rho ^{2}d\varphi ^{2}+\rho ^{2}\tan ^{2}\alpha _{E}d\varphi ^{2}}$

e sostituendo $d\lambda$ a numeratore $m_{L}^{2}={ed\varphi ^{2}+g{\rho ^{2} \over r^{2}}\tan ^{2}\alpha _{E}d\varphi ^{2}+2f{\rho \over r}\tan \alpha _{E}d\varphi ^{2} \over \rho ^{2}(1+\tan ^{2}\alpha _{E})d\varphi ^{2}}$

$={{\Bigl (}e+g{\rho ^{2} \over r^{2}}\tan ^{2}\alpha _{E}+2f{\rho \over r}\tan \alpha _{E}{\Bigr )}d\varphi ^{2} \over \rho ^{2}(1+\tan ^{2}\alpha _{E})d\varphi ^{2}}$

Semplificando $d\varphi ^{2}$ trovo che il valore del modulo di deformazione lineare è uguale a:

$m_{L}^{2}={\sqrt {e+g{\rho ^{2} \over r^{2}}\tan ^{2}\alpha _{E}+2f{\rho \over r}\tan \alpha _{E} \over \rho ^{2}(1+\tan ^{2}\alpha _{E})}}$

Come si può notare dalla formula finale, il valore di $m_{L}$ dipende da due parametri differenti:

dalla posizione del punto sull'Ellissoide di riferimento $(\varphi ,\lambda )$ e quindi $(\rho ,r)$
dipendenza del modulo di deformazione lineare dall'azimut
dalla direzione secondo la quale si è assunto $\alpha _{E}$ (vedi figura).

Ciò implica che ad un cerchio infinitesimo tracciato sull’ellissoide corrisponda un’ellisse infinitesima sul piano della carta (detta ellisse indicatrice di Tissot o ellisse indicatrice dei moduli perché indica le modifiche subite nei dintorni di un punto P a seguito della rappresentazione cartografica).

Se un cerchio sulla superficie dell'ellissoide rimane un cerchio anche sulla carta significa che il modulo di deformazione lineare è indipendente dall'azimut, si mantengono quindi le forme: ho una carta conforme.