Utente:Grasso Luigi/sandbox4/Morfismo zero

In teoria delle categorie, un'area della matematica, un morfismo zero è un particolare tipo di morfismo con proprietà di morfismi da e verso un oggetto zero.

Definizioni

Supponiamo che C sia una categoria, e consideriamo un morfismo in C

$f\ :\ X\longrightarrow \ Y$

tale morfismo f viene detto un morfismo costante (od anche morfismo zero sinistro) se per qualsiasi oggetto W in C e qualsiasi

$g,\ h\ :\ W\longrightarrow \ X$

si ha

$f\circ g=f\circ h\ :\ W\longrightarrow \ Y$

Dualmente, f viene detto una morfismo cocostante (od anche morfismo zero destro) se per qualsiasi oggetto Z in C e qualunque due morfismi

$g,\ h\ :\ Y\longrightarrow \ Z$

si ha

$g\circ f=h\circ f\ :\ X\longrightarrow \ Z$.

Un morfismo zero è sia un morfismo costante ed anche cocostante.

Una categoria con zero morfismi si definisce come segue: comunque considero due oggetti A e B in C, esiste un morfismo fissato 0_AB : A → B, e questa collezione di morfismi è tale che per qualsiasi oggetto X, Y, Z in C e morfismi f : Y → Z, g : X → Y, il diagramma commuta. I morfismi 0_XY sono necessariamente zero morfismi e formano un sistema compatibile di zero morfismi.

If C is a category with zero morphisms, then the collection of 0_XY is unique.

This way of defining a "zero morphism" and the phrase "a category with zero morphisms" separately is unfortunate, but if each hom-set has a ″zero morphism", then the category "has zero morphisms".

Esempi

• In the category of groups (or of modules), a zero morphism is a homomorphism f : G → H that maps all of G to the identity element of H. The zero object in the category of groups is the trivial group 1 = {1}, which is unique up to isomorphism. Every zero morphism can be factored through 1, i. e., f : G → 1 → H.
• More generally, suppose C is any category with a zero object 0. Then for all objects X and Y there is a unique sequence of morphisms

  0_XY : X → 0 → Y

  The family of all morphisms so constructed endows C with the structure of a category with zero morphisms.
• If C is a preadditive category, then every hom-set Hom(X,Y) is an abelian group and therefore has a zero element. These zero elements form a compatible family of zero morphisms for C making it into a category with zero morphisms.
• The category of sets does not have a zero object, but it does have an initial object, the empty set ∅. The only right zero morphisms in Set are the functions ∅ → X for a set X.

Related concepts

If C has a zero object 0, given two objects X and Y in C, there are canonical morphisms f : X → 0 and g : 0 → Y. Then, gf is a zero morphism in Mor_C(X, Y). Thus, every category with a zero object is a category with zero morphisms given by the composition 0_XY : X → 0 → Y.

If a category has zero morphisms, then one can define the notions of kernel and cokernel for any morphism in that category.

References

• Section 1.7 of Bodo Pareigis, Categories and functors, vol. 39, Academic Press, 1970.
• Category Theory, Heldermann Verlag, 2007..