Teorema di Bendixson-Dulac

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In matematica, teorema di Bendixson-Dulac è un teorema che consente di stabilire se per un sistema autonomo esistono o meno soluzioni periodiche.

Il teorema fu proposto dal matematico svedese Ivar Bendixson nel 1901 ed è stato successivamente perfezionato dal francese Henri Dulac nel 1933 usando il teorema di Green.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Se esiste una funzione  \varphi(x, y) tale che:

\frac{ \partial (\varphi f) }{ \partial x } + \frac{ \partial (\varphi g) }{ \partial y }

abbia lo stesso segno (\neq 0) quasi ovunque (eccetto un insieme di misura nulla) in una regione semplicemente connessa, allora il sistema autonomo:

\frac{ dx }{ dt } = f(x,y)
\frac{ dy }{ dt } = g(x,y)

non ha soluzioni periodiche.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Senza perdere di generalità si può considerare una funzione  \varphi(x, y) tale che:

\frac { \partial (\varphi f) }{ \partial x } +\frac { \partial (\varphi g) }{ \partial y } >0

in un dominio semplicemente connesso di R. Si supponga che esiste una soluzione C del sistema in R che è una curva chiusa, e sia D la regione delimitata da C. Per il teorema di Green:

\iint _{ D }^{  }{ \left( \frac { \partial (\varphi f) }{ \partial x } +\frac { \partial (\varphi g) }{ \partial y }  \right) dxdy } =\oint _{ C }^{  }{ -\varphi gdx+\varphi fdy } = \oint _{ C }^{  }{ \varphi \left( -\dot { y } dx+\dot { x } dy \right)  }

Dal momento che lungo C si ha dx=\dot { x } dt e dy=\dot { y } dt, l'integrando si annulla: essendo una contraddizione, non esiste alcuna curva chiusa C.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) S.E. Cappell, J.L. Shaneson, Non-linear similarity Ann. of Math. , 113 (1981)
  • (EN) N.H. Kuiper, The topology of the solutions of a linear differential equation on , Proc. Internat. Congress on Manifolds (Tokyo, 1973)
  • (EN) N.H. Kuiper, J.W. Robbin, Topological classification of linear endomorphisms Inv. Math. , 19 (1973)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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