Polinomio di Racah

In matematica i polinomi di Racah costituiscono una famiglia di polinomi ortogonali introdotta da James Wilson nel 1978 e così chiamati in onore di Giulio Racah, in quanto le loro relazioni di ortogonalità sono equivalenti alle relazioni di ortogonalità per i coefficienti di Racah.

I polinomi di Racah si possono definire come funzioni ipergeometriche ponendo:

$p_{n}(x(x+\gamma +\delta +1)):={}_{4}F_{3}\left[{\begin{matrix}-n&n+\alpha +\beta +1&-x&x+\gamma +\delta +1\\\alpha +1&\gamma +1&\beta +\delta +1\\\end{matrix}};1\right]$

In parallelo ad essi Richard Askey e James Wilson hanno introdotto i polinomi q-Racah in termini di funzioni ipergeometriche basiche ponendo:$p_{n}(q^{-x}+q^{x+1}cd;a,b,c,d;q)={}_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abq^{n+1}&q^{-x}&q^{x+1}cd\\aq&bdq&cq\\\end{matrix}};q;q\right]$ Per taluni scopi risulta conveniente definirli mediante un cambiamento di variabili come

$W_{n}(x;a,b,c,N;q)={}_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abq^{n+1}&q^{-x}&cq^{x-n}\\aq&bcq&q^{-N}\\\end{matrix}};q;q\right]$

Bibliografia

• Richard Askey, James Wilson (1979): A set of orthogonal polynomials that generalize the Racah coefficients or 6-j symbols, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 10 (5) pp. 1008 – 1016
• J. Wilson, Hypergeometric series recurrence relations and some new orthogonal functions, Ph.D. thesis, Univ. Wisconsin, Madison, 1978.