Funzione di Carmichael

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In matematica, ed in particolare nella teoria dei numeri, la funzione di Carmichael \lambda(n) è una funzione aritmetica che prende nome dal matematico statunitense Robert Carmichael (1879-1967).

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia n\in\mathbb{N}\backslash\left\{0\right\} e sia n=p_1^{a_1}\cdot\ldots\cdot p_r^{a_r} la fattorizzazione in primi di n. Si ha:

\lambda\ :\ \mathbb{N}\backslash\left\{0\right\}\ \rightarrow\ \mathbb{Z}

\lambda(n):=\text{mcm}(\left\{\varphi(p_i^{a_i})\right\})

dove mcm indica il minimo comune multiplo in \mathbb{Z} e \varphi la funzione di Eulero.

Dunque, \lambda(n) è l'esponente (minimo comune multiplo degli ordini o periodi degli elementi) del gruppo delle unità (gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili) di \mathbb{Z}_n.

Teorema di Carmichael[modifica | modifica sorgente]

Sia n un numero intero dispari, sia a un intero coprimo con n. Si ha allora che la funzione di Carmichael di n è il più piccolo numero intero positivo m tale che:

a^m\equiv 1\pmod{n}

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Essendo sempre \varphi la funzione indicatrice di Eulero, si ha che \lambda(n) è un divisore di \varphi(n).

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]