Funzione di Carmichael

In matematica, ed in particolare nella teoria dei numeri, la funzione di Carmichael $\lambda(n)$ è una funzione aritmetica che prende nome dal matematico statunitense Robert Carmichael (1879-1967).

Definizione

Sia $n\in\mathbb{N}\backslash\left\{0\right\}$ e sia $n=p_1^{a_1}\cdot\ldots\cdot p_r^{a_r}$ la fattorizzazione in primi di $n$. Si ha:

$\lambda\ :\ \mathbb{N}\backslash\left\{0\right\}\ \rightarrow\ \mathbb{Z}$

$\lambda(n):=\text{mcm}(\left\{\varphi(p_i^{a_i})\right\})$

dove mcm indica il minimo comune multiplo in $\mathbb{Z}$ e $\varphi$ la funzione di Eulero.

Dunque, $\lambda(n)$ è l'esponente (minimo comune multiplo degli ordini o periodi degli elementi) del gruppo delle unità (gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili) di $\mathbb{Z}_n$.

Teorema di Carmichael

Sia $n$ un numero intero dispari, sia $a$ un intero coprimo con $n$. Si ha allora che la funzione di Carmichael di $n$ è il più piccolo numero intero positivo $m$ tale che:

$a^m\equiv 1\pmod{n}$

Proprietà

Essendo sempre $\varphi$ la funzione indicatrice di Eulero, si ha che $\lambda(n)$ è un divisore di $\varphi(n)$.

Voci correlate

• Minimo comune multiplo
• Numero di Carmichael
• Numero primo
• Funzione di Eulero