Fibrato vettoriale essenzialmente finito

In matematica, un fibrato vettoriale essenzialmente finito è un particolare tipo di fibrato vettoriale definito da Madhav Nori, come lo strumento principale nella costruzione dello schema in gruppi fondamentale. Anche se la definizione non è intuitiva, esiste una bella caratterizzazione che rende i fibrati vettoriali essenzialmente finiti oggetti del tutto naturali da studiare in geometria algebrica. La seguente nozione di fibrato vettoriale finito è dovuta ad André Weil ed è necessaria per definire i fibrati vettoriali essenzialmente finiti.

Fibrati vettoriali finiti

Sia $X$ uno schema e $V$ un fibrato vettoriale su $X$. Dato un polinomio $f=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}[x]$ con coefficienti non negativi si definisce

$f(V):={\mathcal {O}}_{X}^{\oplus a_{0}}\oplus V^{\oplus a_{1}}\oplus \left(V^{\otimes 2}\right)^{\oplus a_{2}}\oplus \ldots \oplus \left(V^{\otimes n}\right)^{\oplus a_{n}}.$

Quindi $V$ si dice finito se esistono due polinomi distinti $f,g\in \mathbb {Z} _{\geq 0}[x]$ per cui $f(V)$ è isomorfo a $g(V)$.

Definizione

Le due definizioni seguenti coincidono quando $X$ è uno schema ridotto, connesso e proprio su un campo perfetto.

La definizione secondo Borne e Vistoli

Un fibrato vettoriale si dice essenzialmente finito se è il nucleo di un morfismo $u\colon F_{1}\to F_{2}$ dove $F_{1},F_{2}$ sono fibrati vettoriali finiti secondo la definizione precedente.

La definizione originale di Nori

Un fibrato vettoriale è essenzialmente finito se è un sottoquoziente di un fibrato vettoriale finito nella categoria dei fibrati vettoriali Nori-semistabili.

Proprietà

• Sia $X$ uno schema ridotto e connesso su un campo perfetto $k$ dotato di una sezione $x\in X(k)$. Un fibrato vettoriale $V$ su $X$ è essenzialmente finito se e solo se esiste uno schema in gruppi finito $G$ su $k$ e un $G$-torsore $p\colon P\to X$ che banalizza $V$ (cioè $p^{*}(V)\cong O_{P}^{\oplus r}$, dove $r=\mathrm {rk} (V)$).
• Quando $X$ è uno schema ridotto, connesso e proprio su un campo perfetto con un punto $x\in X(k)$ allora la categoria $EF(X)$ dei fibrati vettoriali essenzialmente finiti dotati del consueto prodotto tensoriale $\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}$, l'oggetto banale ${\mathcal {O}}_{X}$ e il funtore fibra $x^{*}$ forma una categoria tannakiana.
• Lo schema in gruppi affine $\pi _{1}(X,x)$ su $k$ naturalmente associato alla categoria tannakiana $EF(X)$ è chiamato schema in gruppi fondamentale.