Epsilon zero

In matematica, ε₀ è il più piccolo numero transfinito che non può essere raggiunto partendo da 0 ed eseguendo un numero finito di operazioni di addizioni di numeri ordinali più l'operazione α→ω^α, dove ω è il numero ordinale transfinito più piccolo.

È dato da

\epsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdots }}},

ovvero il limite della sequenza

\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\cdots

La sua forma normale di Cantor è

\epsilon _{0}=\omega ^{\epsilon _{0}}

I numeri che hanno questa caratteristica (cioè i $\beta$ tali che $\beta =\omega ^{\beta }$ ) sono detti numeri epsilon; il più piccolo di questi è appunto $\epsilon _{0}$ , mentre il $\gamma$ -esimo è denotato da $\varepsilon _{\gamma }$ .

L'ordinale ε₀ è numerabile (esistono anche ordinali non numerabili).

Questo ordinale è importante in molte dimostrazioni per induzione, in quanto in molti casi l'induzione transfinita è richiesta solamente fino a ε₀ (come ad esempio nel teorema di Goodstein). È stato usato da Gerhard Gentzen per dimostrare la coerenza dell'aritmetica di Peano: insieme al secondo teorema di incompletezza di Gödel, questo dimostra che l'aritmetica di Peano non può provare la sua fondatezza (è l'ultimo ordinale con questa proprietà: per questo nell'analisi degli ordinali è usata come misura della forza della teoria dell'aritmetica di Peano).

Questo simbolo fu ideato dal matematico tedesco Georg Cantor.

Alberi con radice[modifica | modifica wikitesto]

Gli alberi finiti con radice possono essere usati per rappresentare tutti gli ordinali inferiori a ε₀ nel seguente modo. Un albero finito con radice T rappresenta l'ordinale $\omega ^{\alpha _{1}}+\cdots +\omega ^{\alpha _{n}}$ dove α₁≥....≥α_n sono gli ordinali rappresentati dagli n≥0 alberi con radice ottenuti cancellando la radice di T e gli archi ad essa collegati.