Epsilon zero

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In matematica, ε0 è il più piccolo numero transfinito che non può essere raggiunto partendo da 0 ed eseguendo un numero finito di operazioni di addizioni di numeri ordinali più l'operazione α→ωα, dove ω è il numero ordinale transfinito più piccolo.

È dato da

\epsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}},

ovvero il limite della sequenza

\omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}, \cdots

La sua forma normale di Cantor è

\epsilon_0 = \omega^{\epsilon_0}

I numeri che hanno questa caratteristica (cioè i \beta tali che \beta=\omega^{\beta}) sono detti numeri epsilon; il più piccolo di questi è appunto \epsilon_0, mentre il \gamma-esimo è denotato da \varepsilon_\gamma.

L'ordinale ε0 è numerabile (esistono anche ordinali non numerabili).

Questo ordinale è importante in molte dimostrazioni per induzione, in quanto in molti casi l'induzione transfinita è richiesta solamente fino a ε0 (come ad esempio nel teorema di Goodstein). È stato usato da Gerhard Gentzen per dimostrare la coerenza dell'aritmetica di Peano: insieme al secondo teorema di incompletezza di Gödel, questo dimostra che l'aritmetica di Peano non può provare la sua fondatezza (è l'ultimo ordinale con questa proprietà: per questo nell'analisi degli ordinali è usata come misura della forza della teoria dell'aritmetica di Peano).

Questo simbolo fu ideato dal matematico tedesco Georg Cantor.

Alberi con radice[modifica | modifica wikitesto]

Gli alberi finiti con radice possono essere usati per rappresentare tutti gli ordinali inferiori a ε0 nel seguente modo. Un albero finito con radice T rappresenta l'ordinale \omega^{\alpha_1}+\cdots+\omega^{\alpha_n} dove α1≥....≥αn sono gli ordinali rappresentati dagli n≥0 alberi con radice ottenuti cancellando la radice di T e gli archi ad essa collegati.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]