Discussione:Teorema dei numeri primi

Ho tradotto la parte che mancava. Dal momento che il mio inglese è abbastanza scarso, sarei felice se qualcuno controllasse la qualità della traduzione ;)

Grazie, purtroppo non sono esperto di termini matematici. Non mancherà di passare qualcuno in grado di controllare. Ciao, --M/ 22:58, Nov 7, 2004 (UTC)

definizione

La attuale

$\pi (x)\,:=\,{\rm {numero\ dei\ primi\ minori\ o\ uguali\ a\ }}\leq x$ .

contiene due volte il concetto di <=, o la cambiamo in:

$\pi (x)\,:=\,{\rm {numero\ dei\ primi\ minori\ o\ uguali\ a\ }}x$ .

oppure un "più matematico":

$\pi (x)\,:=\,|\{n:\,n\leq x,\,n{\mbox{ primo}}\}|$ .

Hai ragione... Ci penso io, domani metto sia la seconda che la terza Zetti

tabella π(x) − x / ln x

Come puo' essere che nella tabella π(x) − x / ln x diventi sempre piu' grande se π(x) / (x / ln x)tende a 1? GP

Perché $\lim f(x)/g(x)=1$ implica solo $\lim(f(x)-g(x))/g(x)=0$ e quindi la differenza tra f(x) e g(x) può essere anche grande, basta che tenda a zero rispetto a g(x) (o, i.e., a f(x)). Un esempio facile è f(x)=x^2+x e g(x)=x^2. --Sandro (msg) 12:26, 9 giu 2008 (CEST)

Probabilità

"Si può anche dimostrare che la probabilità che un dato numero n sia primo è 1/ln(n)" è falso. Piuttosto, dal teorema dei numeri primi si può dedurre che, per N sufficientemente grande, la probabilità che un intero n compreso tra 1 e N sia primo è 1/log(N). Nulla si può dire invece sulla probabilità che n sia primo se non si specifica l'intervallo in cui è scelto, dal momento che non esiste una distribuzione di probabilità su un insieme non limitato come i naturali.— Questo commento senza la firma utente è stato inserito da Nemesys88 (discussioni · contributi) 14:01, 30 ott 2010 (CEST).

Beh, sicuramente è sbagliato dire che si può dimostrare, visto che è più che altro un ragionamento euristico, com'è anche è sbagliato dire che non esiste una distribuzione di probabilità su un insieme non limitato come i naturali (es: Distribuzione geometrica). Anche la frase "la probabilità che un intero n compreso tra 1 e N sia primo è 1/log(N)" poi non è che sia esatta (anzi direi tanto esatta quanto l'altra) ed il problema principale è che si tratta come variabile casuale la proprietà "n è primo", cosa che ovviamente non è. Visto che la frase non è chiara, l'ho sostituita con p(n+1)-p(n)~log n che di fatto è una possibile formalizzazione di quel ragionamento euristico.--Sandro (bt) 05:29, 31 ott 2010 (CET)

Non sono troppo convinto che nel caso di un insieme finito sia scorretto. è semplicemente un rapporto tra cardinalità, a quel punto.— Questo commento senza la firma utente è stato inserito da Nemesys88 (discussioni · contributi) 13:02, 31 ott 2010 (CET).

Beh, è corretto euristicamente, ma comunque non molto corretto formalmente. Il problema è che i numeri primi non sono disposti a caso, i primi sono fissi là dove sono e non si possono modificare. Si può dire che tra il rapporto tra i numeri primi minori di N ed N è asintotico a 1/log N, per N che tende all'infinito, e quindi mediamente uno su log N dei numeri è primo, ma questa non è esattamente la stessa cosa che dire che ogni numero ha una probabilità su log N di essere primo. Prova a formalizzarlo bene la distribuzione di probabilità e vedrai che troverai delle difficoltà. Ciao,--Sandro (bt) 16:29, 31 ott 2010 (CET)

Probabilmente è più corretto dire "la probabilità che un numero scelto a caso tra 1 e N sia primo è asintotica a 1/log(N)".--Nemesys88 (msg) 16:59, 31 ott 2010 (CET)

Mhm, no, non è quello il punto, il problema è che un numero fissato N è primo o non è primo, e non primo con probabilità 1/log N e composto nel restante dei casi. Quello che si può dire è che mediamente tra i numeri miniori di N uno su log N è primo, o, in simboli,

\Pi(n)/n ~ 1/log n

che è una cosa un po' diversa.

Il discorso sulla probabilità è solo euristico, usato per fare congetture (anche se solitamente bisogna inserire un fattore correttivo).--Sandro (bt) 01:45, 3 nov 2010 (CET)