Arrotondamento

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L'arrotondamento consiste nel ridurre il numero delle cifre significative con cui si rappresenta una quantità.

Tipologia[modifica | modifica sorgente]

Esistono diversi modi per arrotondare:

  • Con l'arrotondamento per difetto (o troncamento), ci si limita ad eliminare le cifre eccedenti.
  • Con l'arrotondamento per eccesso, al risultato del troncamento si aggiunge una quantità pari ad una unità dell'ultima cifra conservata.

L'arrotondamento vero e proprio consiste nel prendere, tra i due valori precedenti, quello più prossimo al valore originale.

Nel caso in cui il valore originale sia equidistante dall'arrotondamento per difetto e da quello per eccesso (p.e.: 13,65 o 13,75 con arrotondamento a tre cifre, o al primo decimale), si può scegliere se arrotondare sempre per difetto o per eccesso, oppure si può sceglie quello la cui ultima cifra è pari, con quest'ultimo accorgimento, si preserva l'equilibrio statistico tra i due arrotondamenti.

Esposizione formale[modifica | modifica sorgente]

Dato un numero reale x in base \beta, secondo il teorema di rappresentazione in base, lo possiamo rappresentare come:

x = \operatorname{sgn}(x)m\beta^p

Dove la mantissa m è:

m = \sum_{i=1}^\infty c_i\beta^{-i}

In caso di troncamento il numero di cifre c_i utilizzabili è limitato, quindi l'estremo superiore della sommatoria non sarà più \infty ma un intero t > 0. A questo punto il numero x è rappresentato come:

x \approx \operatorname{sgn}(x)\beta^p\sum_{i=1}^t c_i\beta^{-i}

Per effettuare l'arrotondamento, alla (t+1)-esima cifra si somma \beta/2:

x \approx \operatorname{sgn}(x)\beta^p\left( \left(\frac{\beta}{2} + c_{(t+1)}\right)\beta^{-(t+1)} + \sum_{i=1}^t c_i\beta^{-i} \right)

Su questo valore, infine, si applica un semplice troncamento.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Data la base \beta = 10 \ \mbox{ e }\  t = 4:

  • \alpha = 16,7345; rappresentando con t+1 cifre e aggiungendo β/2: \alpha \approx 16,734 + 0,005 = 16,739; infine, troncando: \alpha \approx 16,73
  • \alpha = 23,7374; rappresentando con t+1 cifre e aggiungendo β/2: \alpha \approx 23,737 + 0,005 = 23,742; infine, troncando: \alpha \approx 23,74

Avvertenze[modifica | modifica sorgente]

Come appare dall'esposizione qui sopra, tra il numero originale e quello arrotondato ci sono delle differenze, ovvero è stato introdotto un errore di arrotondamento.

Inoltre, questo è un calcolo semplificato da applicare con cautela su insiemi di valori da trattare statisticamente; ciò perché introduce un errore sistematico di arrotondamento per eccesso, non applicando la regola dell'arrotondamento al pari ai numeri originali le cui cifre eliminate sono costituite da sequenze costituite da un 5 seguito da soli zeri.

Arrotondamento dei risultati di una misura[modifica | modifica sorgente]

Alcune regole di base[1]:

  • Se la cifra da scartare è inferiore a 5, si lascia inalterata la cifra precedente (più significativa).
    Così V = 15,12215768234 diventerà V = 15,12
  • Se la cifra da scartare è 5 seguito da altri decimali o maggiore di 5, si incrementa di 1 la cifra precedente (più significativa).
    Così V = 15,12815768234 diventerà V = 15,13
  • Se la cifra da scartare è 5 seguito da zeri (nessun'altra cifra meno significativa), dipende dal numero di misure che abbiamo:
    • Nel caso di misure isolate si arrotonda in difetto.[Verificare la correttezza di tale affermazione, leggendo la fonte di riferimento non risulta]
    • Nel caso di più misure da trattare statisticamente, si effettua una correzione: se la cifra precedente il 5 è pari si arrotonda in difetto altrimenti si arrotonda in eccesso.
      Così V = 15,1350000 diventerà V = 15,14 (poiché il 5 è preceduto da un numero dispari, che viene aumentato di un'unità) mentre se V = 15,1450000 diventerà V = 15,14 (poiché il 5 è preceduto da un numero pari, che rimane inalterato).

Altre funzioni di arrotondamento e troncamento[modifica | modifica sorgente]

Nella teoria e nei programmi di calcolo per matematici o altri ricercatori si usano varie funzioni di arrotondamento.

Arrotondamento o troncamento ad un numero intero[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi floor e ceiling e troncamento.

Le funzioni che arrotondano o troncano all'intero sono:

  • Floor(x)
  • Ceiling(x)
  • Trunc(x)

Sono usate nei programmi usati dai matematici o da altri ricercatori.

Le funzioni floor e ceiling arrotondano un numero reale x ad un numero intero senza troncamento. In particolare floor(x) = \lfloor x\rfloor è il maggior numero non maggiore di x mentre ceiling(x) =  \lceil x \rceil è il minore intero non minore di x.[2]. Il troncamento, il cui simbolo di funzione è in genere Trunc(x,n) elimina, taglia, semplicemente gli ultimi n decimali senza modificare le cifre rimanenti. Per ottener un intero si eliminano tutti i decimali. L'intero non viene modificato

Altri metodi di arrotondamento[modifica | modifica sorgente]

I metodi di arrotondamento dipendono dai vincoli e dagli obiettivi prefissi.

IEE754[modifica | modifica sorgente]

Nello standard IEE754 la funzione usata ha varie denominazioni arrotondamento convergente, arrotondamento statistico (da non confondere con arrotondamento stocastico), arrotondamento olandese, arrotondamento gaussiano, arrotondamento finanziaro, in inglese anche odd-even rounding o unbiased rounding.[1]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b Engineering Drafting Standards Manual (NASA), X-673-64-1F, p90
  2. ^ Graham, Knuth, & Patashnik, Ch. 3.1

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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