Algoritmo di Edmonds

Nella teoria dei grafi l'algoritmo di Edmonds, chiamato anche algoritmo di Chu-Liu-Edmonds, è utilizzato per determinare, a partire da un dato digrafo pesato e fortemente connesso, un suo sottoalbero orientato di peso minimo e avente assegnata radice. L'algoritmo individua cioè un sottoinsieme degli archi del dato digrafo che costituisca un albero tale che ogni coppia dei nodi presi in considerazione sia connessa attraverso un cammino orientato e tale che il peso totale degli archi individuati risulti minimo. Una prevedibile variante dell'algoritmo ricerca il sottoalbero orientato di peso massimo.

Questo algoritmo è stato sviluppato in modo indipendente da Chu e Liu nel 1965 e da Jack Edmonds nel 1967. Edmonds ha fornito una dimostrazione della sua correttezza, piuttosto macchinosa e complessa, utilizzando procedimenti della programmazione lineare.

Descrizione

L'algoritmo accetta in ingresso un grafo orientato e pesato G = (V,A,w,a), dove V è l'insieme dei nodi, A l'insieme degli archi, w: A → R⁺ una funzione dall'insieme degli archi all'insieme dei numeri reali e a il nodo che si richiede essere radice dell'albero. In uscita restituisce l'albero orientato di supporto a costo minimo T* = (V,A*,w,a), dove A* è un sottoinsieme di A formato da card(V ) - 1 archi. Durante l'esecuzione l'algoritmo opera su grafi intermedi G_i = (V,A_i,w,a) e su alberi intermedi T_j = (V_j, A*_j,w,a) che vengono man mano modificati.

All'inizio vengono eliminati gli archi entranti nella radice a, evidentemente estranei all'albero richiesto. Successivamente l'algoritmo opera in due fasi, dette rispettivamente di contrazione, o fase C, e di espansione, o fase E: durante una fase C si contrae il grafo G_i = (V,A_i,w,a) per eliminare i suoi eventuali cicli; durante la fase E si espande l'albero T_j = (V_j, A*_j,w,a) per far riemergere i nodi dei cicli che erano stati contratti. Sia durante la fase di contrazione che durante la fase di espansione avviene la scelta degli archi presenti nella soluzione finale T* = (V,A*,w,a).

Consideriamo la fase di contrazione che accetta in ingresso il grafo G = (V,A,w,a) :

passo 1.

Per ogni nodo si seleziona l'arco entrante di peso inferiore. Dal momento che la radice non ha archi entranti, rimangono card(V ) - 1 archi. Se non ci sono cicli la fase di contrazione è terminata e si restituisce l'albero T₁ = (V₁, A*₁,w,a).

passo 2.

Se ci sono cicli si procede a considerarli secondo un ordine qualsiasi:

a.  Ulteriori eventuali archi del grafo di partenza che congiungono i nodi del ciclo sono eliminati dall'insieme degli archi.

b.  Tutti gli archi che entrano in uno dei nodi del ciclo vanno rietichettati secondo il seguente criterio: siano j ed i rispettivamente un nodo del ciclo e un nodo che non vi appartiene tali che esista l'arco (i,j) con peso w_i,j; sia inoltre (k,j) l'arco del ciclo che termina in j (avente peso w_k,j); allora il peso rietichettato associato all'arco (i,j) sarà:

w_i,j = w_i,j - w_k,j

cioè dal peso di ogni arco entrante nel ciclo si sottrae il peso dell'arco del ciclo diretto allo stesso nodo in cui entra l'arco che si sta rietichettando.

c.  Si fanno collassare i nodi del ciclo in un super-nodo.

d.  Tra tutti gli archi rietichettati e paralleli che entrano in un super-nodo si conserva quello di peso inferiore e si eliminano tutti gli altri.

e.  Si ripete questo procedimento per ogni ciclo.

passo 3.

Torniamo al passo 1 e applichiamo la manovra di contrazione sul grafo ridotto G_i+1 ottenuto.

Consideriamo ora la fase di espansione che accetta in ingresso l'albero T₁ = (V₁, A*₁,w,a) ottenuto al termine della precedente fase di contrazione:

passo 1.

Consideriamo un super-nodo e l'arco entrante, l'arco entrante appartiene alla soluzione finale T* = (V,A*,w,a) e viene etichettato come era in origine.

passo 2.

Il super-nodo viene espanso nei nodi originali e tra gli archi del ciclo bisogna eliminarne uno; tra i nodi del ciclo uno ha due archi entranti: l'arco appena aggiunto alla soluzione e l'arco del ciclo, quest'ultimo viene eliminato, gli altri archi del ciclo vengono aggiunti alla soluzione.

passo 3.

Si torna al passo 1 finché abbiamo espanso tutti i super-nodi.

Alla contrazione di ogni ciclo in un supernodo durante una fase C, corrisponde l'espansione di tale supernodo nel ciclo di partenza durante la fase E.

Esempio 1

Immagine	Descrizione
	Grafo d'ingresso G = (V,A,w,a)
[[Image:|200px]]	Prima manovra di contrazione: passo 1
[[Image:|200px]]	Prima manovra di contrazione: passo 2.a
	Prima manovra di contrazione: passo 2.b
[[Image:|200px]]	Prima manovra di contrazione: passo 2.c
[[Image:|200px]]	Seconda manovra di contrazione: passo 1
[[Image:|200px]]	Seconda manovra di contrazione: passo 2.a
[[Image:|200px]]	Seconda manovra di contrazione: passo 2.b
[[Image:|200px]]	Seconda manovra di contrazione: passo 2.c
[[Image:|200px]]	Seconda manovra di contrazione: passo 2.d Fine fase di contrazione
[[Image:|200px]]	Prima manovra di espansione: passo 1
[[Image:|200px]]	Prima manovra di espansione: passo 2
[[Image:|200px]]	Seconda manovra di espansione: passo 2 Fine Si ottiene T* = (V,A*,w,a).

Esempio 2

Immagine	Descrizione
	Grafo d'ingresso G = (V,A,w,a)
[[Image:|200px]]	Prima manovra di contrazione: passo 1
[[Image:|200px]]	Prima manovra di contrazione: passo 2.a
[[Image:|200px]]	Prima manovra di contrazione: passo 2.b
[[Image:|200px]]	Prima manovra di contrazione: passo 2.c
[[Image:|200px]]	Prima manovra di contrazione: passo 2.d
[[Image:|200px]]	Seconda manovra di contrazione: passo 1 Gli archi selezionati non formano cicli: abbiamo trovato un albero. Fine fase di contrazione
[[Image:|200px]]	Prima manovra di espansione: passo 1
[[Image:|200px]]	Prima manovra di espansione: passo 2
[[Image:|200px]]	Seconda manovra di espansione: passo 1
[[Image:|200px]]	Seconda manovra di espansione: passo 2
[[Image:|200px]]	Fine Si ottiene T* = (V,A*,w,a).

Bibliografia

• Y. J. Chu. T. H. Liu: On the Shortest Arborescence of a Directed Graph, Science Sinica, v. 14, (1965), pp. 1396–1400.
• J. Edmonds: Optimum Branchings, J. Res. Nat. Bur. Standards, v. 71B, 1967, pp. 233–240.
• Robert Tarjan: Finding Optimum Branchings, Networks, v.7, 1977, pp. 25–35.
• P.M. Camerini, L. Fratta, F. Maffioli: A note on finding optimum branching, Networks, v.9, (1979), pp. 309–312.
• Alan Gibbons: Algorithmic Graph Theory, Cambridge University Press, (1985), ISBN 0-521-28881-9
• H. N. Gabow, Z. Galil, T. Spencer, R. E. Tarjan: Efficient algorithms for finding minimum spanning trees in undirected and directed graphs, Combinatorica 6 (1986), 109-122.
• Y. Zhang: Parallel algorithms for minimal spanning trees of directed graphs, Int. J. Parallel Program., 3 (June 1990), pp. 109–122
• T. Magnanti, L. Wolsey: Handbooks in Operational Research and Management Science: Optimal Trees (1995)

Collegamenti esterni

• The Directed Minimum Spanning Tree Problem Description of the algorithm summarized by Shanchieh Jay Yang, May 2000.
• Edmonds's algorithm (edmonds-alg) - An open source implementation of Edmonds's algorithm written in C++ and licensed under the MIT License. This source is using Tarjan's implementation for the dense graph.
• AlgoWiki - Edmonds's algorithm - A public-domain implementation of Edmonds's algorithm written in Java.