In matematica una curva quintica è una curva algebrica piana di quinto grado . Può essere definita da un polinomio della forma:
A
x
5
+
B
y
5
+
C
x
4
y
+
D
x
y
4
+
E
x
3
y
2
+
F
x
2
y
3
+
G
x
4
+
H
y
4
+
I
x
3
y
+
J
x
y
3
+
K
x
2
y
2
+
L
x
3
+
M
y
3
+
N
x
2
y
+
O
x
y
2
+
P
x
2
+
Q
y
2
+
R
x
y
+
S
x
+
T
y
+
U
=
0
{\displaystyle Ax^{5}+By^{5}+Cx^{4}y+Dxy^{4}+Ex^{3}y^{2}+Fx^{2}y^{3}+Gx^{4}+Hy^{4}+Ix^{3}y+Jxy^{3}+Kx^{2}y^{2}+Lx^{3}+My^{3}+Nx^{2}y+Oxy^{2}+Px^{2}+Qy^{2}+Rxy+Sx+Ty+U=0}
L'equazione ha 21 coefficienti, ma la curva non cambia se li moltiplichiamo tutti per una costante non nulla.
Quindi i coefficienti essenziali sono 20 e le quintiche sono
∞
20
{\displaystyle ^{20}}
Curva a 28 bitangenti Una curva quintica (n=5) irriducibile può avere al massimo:
(n-1)(n-2)/2 + 1 = 7 componenti connesse
(n-1)(n-2)/2 = 6 punti doppi
n(n-2)(n-3)(n+3)/2 = 120 rette bitangenti
3n(n-2) = 45 punti di flesso.
x
5
−
y
2
−
x
=
0
{\displaystyle x^{5}-y^{2}-x=0}
x
5
+
x
2
y
−
y
2
=
0
{\displaystyle x^{5}+x^{2}y-y^{2}=0}
y
2
(
y
−
1
)
(
y
−
2
)
(
y
+
5
)
−
(
x
2
−
1
)
2
=
0
{\displaystyle y^{2}(y-1)(y-2)(y+5)-(x^{2}-1)^{2}=0}
25
x
5
+
45
y
5
+
68
x
4
−
155
y
4
−
12
x
3
+
175
y
3
−
35
x
2
−
65
y
2
+
x
+
4
=
0
{\displaystyle 25x^{5}+45y^{5}+68x^{4}-155y^{4}-12x^{3}+175y^{3}-35x^{2}-65y^{2}+x+4=0}
(
x
2
+
y
2
)
2
(
y
−
2
)
+
y
(
4
x
4
+
x
2
+
y
2
)
=
0
{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}(y-2)+y(4x^{4}+x^{2}+y^{2})=0}
x
4
(
x
−
1
)
+
y
4
(
y
−
1
)
−
x
y
=
0
{\displaystyle x^{4}(x-1)+y^{4}(y-1)-xy=0}
x
5
+
y
5
−
x
=
0
{\displaystyle x^{5}+y^{5}-x=0}
4
y
5
+
24
x
4
y
+
35
x
2
y
3
−
21
x
4
−
45
x
2
y
2
−
40
y
3
−
46
x
2
y
−
13
y
2
+
57
y
+
36
=
0
{\displaystyle 4y^{5}+24x^{4}y+35x^{2}y^{3}-21x^{4}-45x^{2}y^{2}-40y^{3}-46x^{2}y-13y^{2}+57y+36=0}
36864
y
5
+
84375
x
4
−
24576
a
2
y
4
+
144000
a
x
2
y
2
+
4096
a
4
y
3
−
86400
a
3
x
2
y
+
13824
a
5
x
2
=
0
{\displaystyle 36864y^{5}+84375x^{4}-24576a^{2}y^{4}+144000ax^{2}y^{2}+4096a^{4}y^{3}-86400a^{3}x^{2}y+13824a^{5}x^{2}=0}
y
5
+
5
(
x
4
−
y
4
−
1
)
=
0
{\displaystyle y^{5}+5(x^{4}-y^{4}-1)=0}
x
2
(
13
y
3
−
5
x
2
+
33
y
2
+
36
y
+
14
)
+
y
(
2
x
4
+
5
y
4
+
15
y
3
+
12
y
2
−
10
y
−
16
)
−
5
=
0
{\displaystyle x^{2}(13y^{3}-5x^{2}+33y^{2}+36y+14)+y(2x^{4}+5y^{4}+15y^{3}+12y^{2}-10y-16)-5=0}
x
2
(
9
x
2
−
8
y
3
+
4
y
2
+
8
)
+
y
(
9
x
4
+
3
y
4
−
7
y
3
+
4
y
2
+
5
y
−
8
)
−
5
=
0
{\displaystyle x^{2}(9x^{2}-8y^{3}+4y^{2}+8)+y(9x^{4}+3y^{4}-7y^{3}+4y^{2}+5y-8)-5=0}
5
y
5
−
x
4
−
2
y
3
+
2
x
2
−
1
=
0
{\displaystyle 5y^{5}-x^{4}-2y^{3}+2x^{2}-1=0}
y
5
+
100
x
4
y
+
20
x
2
y
3
−
100
x
+
10
y
−
1000
=
0
{\displaystyle y^{5}+100x^{4}y+20x^{2}y^{3}-100x+10y-1000=0}
y
5
+
100
x
4
y
+
20
x
2
y
3
+
100
x
=
0
{\displaystyle y^{5}+100x^{4}y+20x^{2}y^{3}+100x=0}
x
5
+
y
5
+
x
y
(
x
−
y
)
=
0
{\displaystyle x^{5}+y^{5}+xy(x-y)=0}
(
x
2
−
y
2
)
(
y
2
−
1
)
(
2
y
−
3
)
−
y
(
x
2
+
y
2
−
2
y
)
2
=
0
{\displaystyle (x^{2}-y^{2})(y^{2}-1)(2y-3)-y(x^{2}+y^{2}-2y)^{2}=0}
x
2
(
x
2
−
2
)
+
2
y
2
(
y
3
+
y
2
−
1
)
+
2
x
2
y
(
x
2
−
y
2
−
1
)
+
1
=
0
{\displaystyle x^{2}(x^{2}-2)+2y^{2}(y^{3}+y^{2}-1)+2x^{2}y(x^{2}-y^{2}-1)+1=0}
20
y
(
x
2
+
y
2
−
1
)
(
5
x
2
+
y
2
−
2
)
+
1
=
0
{\displaystyle 20y(x^{2}+y^{2}-1)(5x^{2}+y^{2}-2)+1=0}
x
(
x
y
3
−
14
x
y
+
1
)
+
y
(
y
4
+
10
x
4
−
6
y
2
+
4
)
=
0
{\displaystyle x(xy^{3}-14xy+1)+y(y^{4}+10x^{4}-6y^{2}+4)=0}
(
7
y
3
−
6
x
2
y
−
8
x
2
+
7
y
2
+
4
)
(
10
x
2
+
6
y
2
+
4
y
−
9
)
−
1
=
0
{\displaystyle (7y^{3}-6x^{2}y-8x^{2}+7y^{2}+4)(10x^{2}+6y^{2}+4y-9)-1=0}
4
x
2
(
3
x
3
+
2
x
2
−
13
x
+
8
)
−
36
y
2
(
y
3
−
2
y
2
−
4
y
+
8
)
+
3
x
2
y
2
(
11
x
−
10
y
+
39
)
−
2
x
y
(
2
x
3
−
18
y
3
+
29
x
2
+
57
y
2
+
59
x
+
3
y
−
90
)
=
0
{\displaystyle 4x^{2}(3x^{3}+2x^{2}-13x+8)-36y^{2}(y^{3}-2y^{2}-4y+8)+3x^{2}y^{2}(11x-10y+39)-2xy(2x^{3}-18y^{3}+29x^{2}+57y^{2}+59x+3y-90)=0}
Curva di Burnside
Curva Keratoide
Curva a staffa
Curva a Birilli
Curva di De L'Hospital
Curva di Mutasci
Curva sinuosa
Maracas di Chioppa
Butterfly Catastrophe
Curva a bulbo
Foglia di Patarino
Curva a tulipano
Curva a gocce
Curva con punto triplo
Impulso singolo
Doppio impulso
Curva bicuspinodata
Curva a 36 bitangenti
Curva con 10 flessi
Curva esaconnessa
Curva esanodata
Curva di Burnside
Curva Keratoide
Curva a staffa
Curva a Birilli
Curva di De L'Hospital
Curva di Mutasci
Curva sinuosa
Maracas di Chioppa
Butterfly Catastrophe
Curva a bulbo
Foglia di Patarino
Curva a tulipano
Curva a gocce
Curva con punto triplo
Impulso singolo
Doppio impulso
Curva bicuspinodata
Curva a 36 bitangenti
Curva con 10 flessi
Curva esaconnessa
Curva esanodata
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