Utente:Marinacaterina/LaurentLafforgue

Funzioni-L

La teoria delle funzioni-L è diventata una parte molto importante della Teoria dei numeri, anche se è ancora lontana dall'aver trovato una formulazione soddisfacente e completa. Nel suo ambito, sono state costruite generalizzazioni della Funzione zeta di Riemann, delle L-serie e del Carattere di Dirichlet, e sono state studiate le loro proprietà generali, anche se esse non sono state ancora pienamente dimostrate.

Contenuti

• 1 Funzioni-L
• 2 Principali congetture
• 3 L'esempio della Birch and Swinnerton-Dyer congettura
• 4 Sviluppi della teoria generale
• 5 Vedi anche
• 6 Referenze
• 7 Links Esterni

Nello studio delle L-serie, dobbiamo distinguere fra la loro rappresentazione infinita (per esempio le serie di Dirichlet per le funzioni zeta di Riemann) e le L-funzioni, che sono la loro continuazione analitica nel piano complesso. Una L-serie è definita dapprima come una serie di Dirichlet e, successivamente, attraverso un'espansione mediante un prodotto di Eulero indicizzato con numeri primi. Solo attraverso delle stime si può provare che la L-serie converge in un semipiano destro del piano complesso. Ci si può chiedere se la funzione così definita ammette una continuazione analitica su tutto il piano complesso (sia pure ammettendo dei poli). Questa possibile estensione meromorfa delle L-serie all'intero piano complesso è chiamata funzione-L. Nel caso classico si possono ottenere informazioni studiando i valori e il comportamento della funzione-L in punti del piano complesso in cui la serie non converge. Con il termine generale di funzione-L designamo anche molte funzioni, completamente note, della classe delle funzioni zeta. Attraverso la cosìddetta Classe di Selberg, raggruppiamo in un insieme di assiomi le proprietà fondamentali delle funzioni-L, concentrando lo studio sulle proprietà dell'intera classe di funzioni, piuttosto che su quello delle singole funzioni.

Principali congetture

Elenchiamo le principali caratteristiche di esempi di funzioni-L che si vorrebbero generalizzare:

• 1 Localizzazione di zeri e poli
• 2 Studio della localizzazione degli zeri delle funzioni-L rispetto alla retta Re(s)=costante;
• 3 Valori interi di notevole interesse

Molti lavori dettagliati hanno fornito congetture plausibili riguardanti la risoluzione di questi problemi, per esempio circa i possibili tipi di equazioni funzionali in gioco. Dal momento che la funzione zeta di Riemann si connette ai numeri di Bernoulli, attraverso i valori che essa assume in corrispondenza degli interi positivi pari e negativi dispari, si cerca di generalizzare questa importante proprietà a tutte le funzioni-L. Sono stati ottenuti risultati rilevanti per le cosìddette funzioni-L p-adiche, che descrivono alcuni moduli di Galois. La distribuzione degli zeri di queste funzioni è rilevante a causa della sua connessione all'ipotesi di Riemann generalizzata e alla distribuzione dei numeri primi. La connessione delle funzioni- L con la Teoria delle Matrici random e con la Teoria del Caos quantistico è anche oggetto di studio. La struttura frattale della distribuzione degli zeri è stata studiata usando la cosìddetta "Rescaled range analysis"[1]. La proprietà di autosimilarità frattale della distribuzione degli zeri di queste funzioni è di grande rilievo ed è contraddistinta da una dimensione frattale d=1.9. Una dimensione frattale così grande è stata trovata per un gran numero di zeri della funzione zeta di Riemann e anche per quelli di differenti funzioni-L.

L'esempio della congettura di Birch e Swinnerton-Dyer

Un esempio assai significativo per la storia della ricerca nel campo delle funzioni-L (e un problema ancora aperto) è la congettura sviluppata da Bryan Birch e Peter Swinnerton-Dyer nella prima parte degli anni '60. Tale congettura si applica a una curva ellittica E, quando si tenta di calcolare il rango della curva nel campo dei numeri razionali (o in altri campi globali): ad esempio, tale congettura è rilevante nel caso in cui si voglia determinare il numero dei generatori liberi del gruppo formato dai punti razionali della curva stessa.

Sviluppi della teoria generale

Questo studio precede di alcuni anni lo sviluppo del programma di Langland ed è complementare ad esso: il lavoro di Langland si collega sia allo studio delle funzioni-L di Artin (che, come le funzioni-L di Hecke, erano state definite parecchi decenni prima) che alle funzioni-L connesse alle rappresentazioni automorfe generali. Gradualmente, si è chiarito in quale senso la costruzione della funzione zeta di Hasse-Weil possa fornire funzioni-L valide dal punto di vista analitico.

Vedi anche

• Ipotesi di Riemann generalizzata
• Teoremi di modularità
• Congettura di Artin

Bibliografia

Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, MR1697859, ISBN 978-3-540-65399-8 ^ O. Shanker (2006). "Random matrices, generalized zeta functions and self-similarity of zero distributions". J. Phys. A: Math. Gen. 39: 13983–13997. doi:10.1088/0305-4470/39/45/008.

Collegamenti esterni

Glimpses of a new (mathematical) world - a breakthrough third degree transcendental L-function revealed, Physorg.com, March 13, 2008 Creeping Up on Riemann, Science News, April 2, 2008 Hunting the elusive L-function Retrieved from "http://en.wikipedia.org/wiki/L-function" Category: Zeta and L-functions