Utente:Carlo Roncolato/Sandbox

Equazione generale di un'ellisse

In geometria analitica, un ellisse è definito da una forma quadratica, ovvero l'insieme dei punti con coordinate $(X,\,Y)$ nel Piano Cartesiano che, nel caso non degenera, soddisfa l'equazione implicita:

$AX^{2}+BXY+CY^{2}+DX+EY+F=0$

sotto la condizione $B^{2}-4AC<0.$. Per distinguere i casi degeneri dai casi non degeneri si utilizza la Rappresentazione matriciale delle coniche.

I coefficienti dell'equazione generale possono essere ottenuti dalla conoscenza del semi asse maggiore $a$, del semi asse minore $b$, le coordinate del centro dell'ellisse $\left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)$, e dall'angolo di rotazione $\theta$ (calcolato tra l'asse orizzontale positivo delle ascisse con l'asse principale dell'ellisse), utilizzando le seguenti formule:

${\begin{aligned}A&=a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta \\B&=2\left(b^{2}-a^{2}\right)\sin \theta \cos \theta \\C&=a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta \\D&=-2Ax_{\circ }-By_{\circ }\\E&=-Bx_{\circ }-2Cy_{\circ }\\F&=Ax_{\circ }^{2}+Bx_{\circ }y_{\circ }+Cy_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}$

Viceversa, parametri canonici possono essere ottenuti dai coefficienti della forma quadratica dalle relazioni:

$a={\sqrt {-{\frac {{\frac {Dx_{\circ }}{2}}+{\frac {Ey_{\circ }}{2}}+F}{A\cos ^{2}{\theta }-B\sin {\theta }\cos {\theta }+C\sin ^{2}{\theta }}}}}$

$b={\sqrt {-{\frac {{\frac {Dx_{\circ }}{2}}+{\frac {Ey_{\circ }}{2}}+F}{A\cos ^{2}{\theta }+B\sin {\theta }\cos {\theta }+C\sin ^{2}{\theta }}}}}$

$x_{\circ }={\frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}}$

$y_{\circ }={\frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}}$

$\theta =\arctan {\frac {B}{A-C}}$

Utilizzando il valore $\Delta$, dato dal seguente determinante:

$\Delta =\det {\begin{bmatrix}A&{\frac {B}{2}}&{\frac {D}{2}}\\{\frac {B}{2}}&C&{\frac {E}{2}}\\{\frac {D}{2}}&{\frac {E}{2}}&F\end{bmatrix}}$ = $ACF+{\frac {BDE}{4}}-{\frac {CD^{2}}{4}}-{\frac {AE^{2}}{4}}-{\frac {B^{2}F}{4}}\;$

E' possibile riscrivere i coefficienti $a,b$ utilizzando solamente i coefficienti dell'equazione dell'ellisse implicito, con le seguenti relazioni:

$a,b=-{\frac {\sqrt {-8\Delta (A+C\mp (A-C){\sqrt {1+{\frac {B^{2}}{(A-C)^{2}}}}})}}{B^{2}-4AC}}$

L'equazione generale dell'ellisse avente i fuochi $F_{1}(x_{F1},y_{F1})$ ed $F_{2}(x_{F2},y_{F2})$ posti in posizione generica sul piano cartesiano e avente il semiasse maggiore denotato con $a$ è data da

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

dove i parametri $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ ed $F$ sono uguali a

$A=16a^{2}-4(x_{F1}-x_{F2})^{2},$

$B=-8(x_{F1}-x_{F2})(y_{F1}-y_{F2}),$

$C=16a^{2}-4(y_{F1}-y_{F2})^{2},$

$D=4(x_{F1}-x_{F2})(x_{F1}^{2}-x_{F2}^{2}+y_{F1}^{2}-y_{F2}^{2})-16a^{2}(x_{F1}+x_{F2}),$

$E=4(y_{F1}-y_{F2})(x_{F1}^{2}-x_{F2}^{2}+y_{F1}^{2}-y_{F2}^{2})-16a^{2}(y_{F1}+y_{F2}),$

$F=4(x_{F1}^{2}+y_{F1}^{2})(x_{F2}^{2}+y_{F2}^{2})-(x_{F1}^{2}+x_{F2}^{2}+y_{F1}^{2}+y_{F2}^{2}-4a^{2})^{2}.$

Queste equazioni si ricavano dalla definizione metrica di ellisse:

${\sqrt {(x-x_{F_{1}})^{2}+(y-y_{F_{1}})^{2}}}+{\sqrt {(x-x_{F_{2}})^{2}+(y-y_{F_{2}})^{2}}}=2a$

Dalla precedente equazione si eliminano le due radici con due elevamenti al quadrato e infine si uguagliano i coefficienti a quelli dell'equazione generale delle coniche.