Teorema di Abel

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In matematica, il teorema di Abel o teorema della convergenza radiale di Abel mette in relazione il limite di una serie di potenze (reale o complessa) con la somma dei suoi coefficienti. Prende il nome dal matematico norvegese Niels Henrik Abel.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia:

una serie di potenze con coefficienti reali o complessi e raggio di convergenza . Se la serie numerica:

converge, allora:

purché il limite sia valutato su una successione di numeri reali, o più in generale all'interno di un angolo di Stolz, cioè una regione del disco aperto di centro l'origine e raggio in cui:

per qualche fissato (il teorema è valido per qualsiasi scelta di ). Senza questa restrizione il limite può non esistere.

Nel caso speciale in cui tutti i coefficienti siano reali positivi per ogni il limite per è valido anche quando la serie non converge, ma in questo caso ambo i membri della formula sono .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Possiamo supporre . Sottraendo una costante da , si può assumere che:

Sia . Allora sostituendo , con semplici manipolazioni della serie si ha:

Dato , sia n sufficientemente grande da consentire per tutti i . Si nota che:

quando è all'interno dell'angolo di Stoltz. Se è abbastanza vicino a 1 si ha:

in modo che quando è nell'angolo di Stoltz ed è anche abbastanza vicino a 1.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Se una serie di potenze:

centrata in converge in un punto , allora essa ha raggio di convergenza almeno:

Il teorema consente di valutare diverse serie in forma chiusa. Ad esempio, quando si ottiene:

integrando la serie di potenze geometrica uniformemente convergente termine a termine sull'intervallo . In questo modo la serie converge a per il teorema di Abel. In modo simile, converge ad .

La funzione è la funzione generatrice della successione .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Lars Valerian Ahlfors, Complex Analysis, Third, McGraw Hill Higher Education, 1º settembre 1980, pp. 41–42, ISBN 0-07-085008-9. - Ahlfors called it Abel's limit theorem.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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