Teorema della racchetta da tennis

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Jump to navigation Jump to search
Gli assi principali di una racchetta da tennis

Il teorema della racchetta da tennis o teorema dell'asse intermedio è un risultato della meccanica classica che descrive il movimento di un corpo rigido con tre diversi assi principali di inerzia. Viene anche chiamato effetto Džanibekov, dal cosmonauta russo Vladimir Džanibekov che si accorse di una delle conseguenza del teorema nello spazio nel 1985[1] sebbene l'effetto fosse già noto almeno 150 anni prima[2] ed era ben descritto in testi di meccanica classica coevi e noti a Džanibekov.[3][4] Un articolo che spiega questo effetto fu pubblicato nel 1991.[5]

Il teorema descrive il seguente effetto: la rotazione di un oggetto intorno al suo primo e terzo asse principale è stabile, mentre la rotazione intorno al suo secondo asse (o asse intermedio) non lo è.

Ciò può essere dimostrato con il seguente esperimento: si tenga una racchetta da tennis nel suo manico, con la faccia orizzontale, si cerchi di lanciarla in aria in modo tale da farle fare una rotazione completa intorno all'asse orizzontale, perpendicolare al manico, e si cerchi di prendere il manico. In quasi tutti i casi, durante la rotazione, anche la faccia compirà una mezza rotazione, cosicché la faccia inizialmente rivolta verso l'alto, diventa rivolta verso il basso. Per contrasto, è facile lanciare la racchetta facendola ruotare intorno all'asse del manico o all'asse verticale perpendicolare al manico (rispettivamente il terzo asse principale e il primo) senza una mezza rotazione aggiuntiva intorno a un altro asse.

L'esperimento può essere effettuato con un qualsiasi oggetto dotato di tre momenti di inerzia, ad esempio con un libro, un telecomando, o un cellulare. L'effetto accade quando l'asse di rotazione differisce anche leggermente dal secondo asse principale dell'oggetto; la resistenza dell'aria e la gravità non sono necessarie.[6]

Teoria[modifica | modifica wikitesto]

Una visualizzazione dell'instabilità dell'asse intermedio. Il modulo del momento angolare e l'energia cinetica dell'oggetto che ruota sono entrambe conservati. Di conseguenza, il vettore velocità angolare rimane sull'intersezione dei due ellissoidi.
Dimostrazione dell'effetto Džanibekov in microgravità, NASA.

Il teorema può essere analizzato qualitativamente con l'aiuto delle equazioni di Eulero. Nella condizione di momento meccanico nullo, assumono la seguente forma:

Qui indicano i principali momenti di inerzia dell'oggetto, e si assume che . indicano le velocità angolari intorno ai tre assi principali e le loro derivate temporali sono indicate da .

Rotazione stabile intorno al primo asse[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri la situazione in cui l'oggetto ruota intorno all'asse con momento d'inerzia . Per determinare la natura dell'equilibrio, si assumano le velocità angolari iniziali lungo gli altri due basse. Di conseguenza, secondo l'equazione (1), è molto piccola. Pertanto, la dipendenza temporale di può essere trascurata.

Ora, derivando l'equazione (2) e sostituendo dall'equazione (3), si ottiene

Si noti che viene contrastata e quindi la rotazione intorno a questo asse è stabile.

Ragionamenti simili portano a concludere che anche la rotazione intorno a sia stabile.

Rotazione instabile intorno al secondo asse[modifica | modifica wikitesto]

Ora si applichi la stessa analisi all'asse con momento d'inerzia . Questa volta è ad essere molto piccola. Pertanto la dipendenza temporale di può essere trascurata.

Ora, derivando l'equazione (1) e sostituendo dall'equazione (3), si ottiene

Si noti che non viene contrastata (aumenterà con il tempo) e quindi la rotazione intorno al secondo asse è instabile. Pertanto anche un piccola perturbazione lungo gli altri assi porta l'oggetto a ribaltarsi.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (RU) Эффект Джанибекова (гайка Джанибекова), su oko-planet.su, 23 luglio 2009. Il software può essere scaricato da qui
  2. ^ Poinsot 1834.
  3. ^ H. Goldstein, Classical Mechanics, 2ª ed., Addison-Wesley, 1980.
  4. ^ Lev Landau e Evgenij Lifshitz, Mechanics, 3ª ed., Pergamon Press, 1976. ISBN 0-08-021022-8 (copertina rigida) e ISBN 0-08-029141-4 (c. flessibile).
  5. ^ Mark S. Ashbaugh, Carmen C. Chicone e Richard H. Cushman, The Twisting Tennis Racket, in Journal of Dynamics and Differential Equations, vol. 3, nº 1, gennaio 1991, pp. 67–85, Bibcode:1991JDDE....3...67A, DOI:10.1007/BF01049489.
  6. ^ Mark Levi, Classical Mechanics with Calculus of Variations and Optimal Control: An Intuitive Introduction, American Mathematical Society, 2014, pp. 151–152, ISBN 9781470414443.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Meccanica Portale Meccanica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di meccanica