Successione numerica

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In matematica, una successione numerica è una successione i cui termini sono solo numeri (non esiste un categoria designata di numeri, sono compresi sia i numeri naturali sia i numeri complessi). È in altre parole una funzione, definita solo sui numeri naturali () oppure su un sottoinsieme di , per la quale è possibile calcolare il suo valore limite al divergere della variabile a . Se il risultato di tale limite è un numero finito la successione sarà convergente, se il suo risultato è la successione sarà divergente, se il limite non esiste la successione sarà indeterminata.

Determinate successioni numeriche possono essere riassunte in una funzione generatrice che permette il calcolo di qualsiasi n-esimo termine della serie; per esempio:

per è la formula generatrice dei numeri dispari.

Rappresentazione[modifica | modifica wikitesto]

Il grafico della successione numerica dei numeri dispari.

Anche le successioni possono essere rappresentate sul piano cartesiano, sull'asse delle ascisse vengono riportati i valori di n, su quella delle ordinate invece gli an. Il grafico è quindi costituito da una serie di punti isolati: in figura è riportato l'esempio della successione naturale dei numeri dispari: .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Le successioni numeriche possono avere andamenti molto diversi tra loro. In base al segno dei suoi termini una successione si dice:

  • ovunque positiva (o positiva), se per ogni n l'immagine assume solo valori positivi, ovvero il grafico è sempre sopra l'asse delle ascisse. Matematicamente si scrive:
specularmente si può definire una successione ovunque negativa
  • asintoticamente (o definitivamente) positiva (negativa) quando da un certo termine in poi, n*, i successivi sono sempre positivi, ovvero il grafico da un punto in poi non scende mai sotto l'asse delle ascisse. Matematicamente si scrive:
specularmente si può definire una successione asintoticamente negativa.

Successioni limitate[modifica | modifica wikitesto]

Una successione a valori reali si dirà:

  • limitata inferiormente se esiste un numero m tale che
  • limitata superiormente se esiste un numero M tale che
  • limitata se esiste un numero M tale che

Una successione a valori in uno spazio metrico è limitata se tutti i suoi valori sono inclusi in una palla.

Successioni monotòne[modifica | modifica wikitesto]

Successioni che presentano una regolarità nell'evoluzione della serie di termini, ovvero il successivo è sempre maggiore (minore) del precedente oppure uguale, vengono dette monotòne.

Se la regolarità è presente in tutta la successione, ovvero ogni termine è sempre maggiore o minore del precedente,

la successione è detta "crescente" oppure "decrescente".
Quando, invece, il termine può essere anche uguale

la successione è detta "non decrescente" oppure "non crescente".

Se la successione, invece, inizia ad essere regolarmente crescente (o decrescente) soltanto da un certo termine n* in poi

si dice che dal punto n* è definitivamente crescente o decrescente.

Esistono infine le successioni costanti,

per cui valgono contemporaneamente la proprietà di essere non crescenti e non decrescenti; esempi possono essere le successioni:

Teorema sulle successioni monòtone[modifica | modifica wikitesto]

Ogni successione monotòna è regolare, cioè ammette limite. In particolare, ogni successione monotòna e limitata è convergente, cioè ammette limite finito.

Dimostrazione: Sia una successione crescente e limitata, con

. Per le note proprietà dell'estremo superiore, fissato un esiste un indice tale che . Ricordando che la crescenza della successione impone
, risulta
.

Cioè, per definizione di limite di una successione, risulta:

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