Spicchio sferico

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Uno spicchio sferico di raggio r e angolo diedro α

In geometria, uno spicchio sferico è la porzione di una palla (comunemente detta "sfera"[1]) delimitata da due semicerchi massimi e da un fuso sferico, definito come base dello spicchio. L'angolo tra i raggi dei due semicerchi è l'angolo diedro corrispondente allo spicchio e, dato un semicerchio che ruota attorno al proprio diametro, lo spicchio sferico viene generato da tale semicerchio che ruota per un'ampiezza pari a tale angolo diedro. Uno spicchio sferico sta quindi alla palla di cui è parte, come il suo angolo diedro sta a un angolo giro e, se tale angolo diedro è uguale a radianti o 180°, allora lo spicchio sferico viene definito "semisfera", mentre se l'angolo diedro è uguale a , allora lo spicchio costituisce una palla completa.[2][3]

Uno spicchio sferico è dotato di due piani di simmetria, uno che divide lo spicchio in due spicchi più piccoli e simmetrici, e uno che divide longitudinalmente lo spicchio generando due semi-spicchi.

Il volume dello spicchio sferico può essere intuitivamente correlato al diametro, e quindi al raggio, del semicerchio che lo genera per rivoluzione, cosicché mentre il volume di una palla di raggio è dato da , quello dello spicchio sferico con lo stesso raggio è dato da:

Utilizzando lo stesso principio e considerando che l'area della superficie di una sfera è data da , si può vedere che l'area della superficie del fuso sferico di angolo diedro è data da:

Per cui, aggiungendo l'area dei due semicerchi massimi, si ottiene l'area della superficie dello spicchio sferico di angolo diedro :

Considerando quindi che il volume di uno spicchio sferico sta al volume di una sfera come l'ampiezza del suo angolo diedro sta a un angolo giro (360°), si può concludere che, se è il volume dello spicchio sferico e è il volume della sfera, il loro rapporto risulta:

Parimenti, se è l'area della superficie del fuso sferico e è l'area della superficie della sfera:

  1. ^ Benché spesso, soprattutto quando ci si riferisce a spazi tridimensionali, i termini "sfera" e "palla" siano usati intercambiabilmente per intendere lo stesso solido, in matematica con "sfera" si intende strettamente la superficie sferica che racchiude la "palla".
  2. ^ Andrea Pagano e Laura Tedeschini Lalli, La sfera (PDF), Università degli Studi Roma Tre. URL consultato il 10 maggio 2021.
  3. ^ Federigo Enriques e Ugo Amaldi, Elementi di geometria, Edizioni Studio Tesi, p. 523. URL consultato il 10 maggio 2021.

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