Piano (geometria)

Due piani che si intersecano

Il piano è un concetto primitivo della geometria, ovvero un concetto che si suppone intuitivamente comprensibile, non necessitando quindi di una definizione in quanto universalmente acquisito (gli altri concetti primitivi della geometria sono il punto e la retta)

• Inteso come luogo geometrico di punti, ha un'estensione superficiale: il piano, nello spazio tridimensionale, è l'insieme di tutti quei punti individuati dalla combinazione lineare di 2 vettori linearmente indipendenti applicati nel medesimo punto P.

• Dal punto di vista della geometria differenziale il piano è quella superficie che ha entrambe le curvature fondamentali nulle.

Le relazioni che intercorrono tra un piano e i punti e le rette che esso contiene sono espresse dagli assiomi di Euclide e dagli assiomi di Hilbert.

Piani nello spazio tridimensionale

L'equazione canonica del piano nello spazio tridimensionale R³ è del tipo:

$ax+by+cz+d=0\;$,

in cui $a,b,c,d\;$ sono i parametri al quanto direttori del piano, con $a,b,c\;$ non nulli.

Equazione cartesiana

Piano passante per tre punti

Siano $\;P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})\;$ tre punti dello spazio non allineati. Per questi tre punti passa uno ed un solo piano $\pi$. Un punto $P=(x,y,z)$ appartiene al piano $\pi$ solo se il vettore $P-P_{1}$ è combinazione lineare dei vettori $P_{2}-P_{1}$ e $P_{3}-P_{1}$, ovvero se

${\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}=0,$

Sviluppando il determinante con la regola di Laplace rispetto alla prima riga si ottiene:

$a(x-x_{1})+b(y-y_{1})+c(z-z_{1})=0$

Dove

$a={\begin{vmatrix}y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}},\;b=-{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}},\;c={\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}\end{vmatrix}}$

Infine, per ottenere l'equazione canonica del piano, si definisce $\;d\;$ come segue:

$d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0})$

Dove $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ è un punto che appartiene al piano, pertanto in questo caso si possono utilizzare le coordinate di un punto qualsiasi fra $\;P_{1}$, $P_{2}$ e $P_{3}\;$.

Posizioni reciproche di due piani

Piani paralleli

Si può studiare la posizione reciproca di due piani mettendo a sistema le loro equazioni. Quando la matrice dei coefficienti ha Rango due il sistema è compatibile e risulta ammettere una semplice infinità (infinito alla uno) soluzioni, che rappresentano tutti i punti della retta di intersezione tra i due piani. Quando la matrice dei coefficienti ha rango 1, le soluzioni ammesse sono una doppia infinità (infinito alla due), e i piani risultano essere paralleli e coincidenti (Parallelismo Improprio). Se infine la matrice dei coefficienti ha rango 0, il sistema risulta essere incompatibile, e i piani sono paralleli e distinti (Parallelismo Proprio).

Distanza di un punto da un piano

È possibile calcolare la distanza di un punto $P=(x_{0},y_{0},z_{0})$ da un piano $\pi$ utilizzando la seguente formula:

$d(\pi ,P)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

In particolare, se $d(\pi ,P)=0$, allora il punto P appartiene al piano $\pi$.

Voci correlate

• Problemi di misura (geometria descrittiva)
• Superficie (matematica)
• Spazio affine
• Fascio di piani
• Piano proiettivo