Fascio di piani

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Un fascio di piani è un insieme formato da infiniti piani, aventi una retta in comune (fascio proprio) oppure paralleli fra di loro (fascio improprio).

Equazione del fascio di piani[modifica | modifica wikitesto]

Un fascio di piani ha equazione analoga a quella di un piano, in cui i coefficienti sono però determinati a meno di un parametro libero di primo grado; ad ogni valore del parametro corrisponde un piano del fascio:

.

Nel caso di un fascio proprio, è sempre possibile eseguire un raccoglimento parziale del parametro in modo da separare l'equazione del piano come segue:

;

i due piani:

sono detti generatori del fascio e individuano la retta appartenente a tutti i piani del fascio. si ottiene per , mentre , pur appartenendo al fascio, non è ricavabile per alcun valore reale attribuibile al parametro, ma è soltanto approssimabile tramite i piani ottenuti per valori molto grandi.

Un fascio improprio è formato da piani paralleli fra di loro, con in comune la stessa normale, pertanto il parametro compare soltanto nel termine noto. In questo caso è possibile prendere come generatori due piani qualunque appartenenti al fascio.

Combinazione lineare di piani[modifica | modifica wikitesto]

La definizione più generale di fascio di piani utilizza un parametro reale proiettivo: dati i due piani e di equazioni:

,

il fascio di piani da essi generato è definito dalla combinazione lineare delle due equazioni:

,

dove e sono due parametri reali entrambi non nulli. Se i due piani generatori sono paralleli, si ottiene un fascio improprio, altrimenti si ottiene un fascio proprio i cui piani hanno in comune la retta individuata dai due generatori.

A differenza delle precedenti equazioni, quest'ultima contiene tutti i piani del fascio. Posto , ogni coppia con lo stesso rapporto individua lo stesso fascio e può essere identificata dal singolo parametro . La coppia di parametri si può allora considerare come un unico parametro nel piano proiettivo .

Sezione piana di un fascio di piani[modifica | modifica wikitesto]

L'intersezione di un fascio di piani con un piano non appartenente al fascio è un fascio di rette. Se il fascio di piani è proprio (una retta in comune), anche il fascio di rette che si ottiene è proprio (un punto in comune); se invece il fascio di piani è improprio (piani paralleli), il corrispondente fascio di rette è improprio (rette parallele).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]