Stella di piani

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In geometria, una stella di piani propria è l'insieme degli infiniti piani che hanno in comune un solo punto, detto centro della stella. Per contro una stella di piani impropria è l'insieme degli infiniti piani paralleli a una retta assegnata r.

Equazione della stella di piani[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di una stella di piani corrisponde a quella di un piano, in cui i coefficienti dipendono da due parametri liberi di primo grado e ; ogni possibile valore della coppia di parametri determina un unico piano della stella.

.

È sempre possibile eseguire un raccoglimento parziale dei parametri in modo da separare l'equazione come segue:

;

i tre piani:

sono detti generatori della stella.

Il piano si ottiene per , mentre e , pur appartenendo alla stella, non sono ricavabili per alcun valore reale dei parametri, si possono solamente approssimare tramite i piani ottenuti per valori molto grandi di e .

A seconda della posizione reciproca dei tre piani generatori, si possono verificare diverse situazioni:

  • i tre piani si incontrano in un unico punto ; la stella è detta propria e tutti i piani che le appartengono passano per ;
  • i piani sono tutti paralleli ad una retta (pur incontrandosi a due a due): la stella è dettaimpropria e tutti i piani che lei appartengono sono paralleli a ;
  • i piani sono paralleli fra di loro e hanno in comune la stessa normale: la stella è detta impropria e tutti piani che le appartengono sono paralleli fra di loro.

Combinazione lineare di piani[modifica | modifica wikitesto]

La definizione più generale di stella di piani utilizza due parametri reali proiettivi: la sua equazione è data dalla combinazione lineare delle equazioni dei tre piani generatori:

,

dove , e sono tre parametri reali non tutti nulli.

A differenza delle precedenti equazioni, quest'ultima contiene tutti i piani della stella. Ogni terna con lo stesso rapporto individua lo stesso fascio. Se, ad esempio, , possiamo utilizzare i due parametri e per caratterizzare il fascio. La terna di parametri si può allora considerare come un unico parametro nel piano proiettivo .

Altri insiemi ottenibili dalla stella di piani[modifica | modifica wikitesto]

  • fissando uno dei parametri liberi, si ottiene un fascio di piani;
  • sezionando un stella di piani con un piano passante per il centro di tale stella, si ottiene un fascio di rette.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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