Risposta in frequenza

In teoria dei sistemi la risposta in frequenza di un sistema dinamico lineare stazionario è la trasformata di Fourier della risposta all'impulso, ed è perciò la funzione di rete che esprime la relazione algebrica tra ingresso e uscita nel dominio della frequenza. Si tratta di un potente strumento per caratterizzare il comportamento di un sistema dinamico lineare sottoposto a sollecitazioni in ingresso variabili nel tempo.

Descrizione

Definire la risposta in frequenza di un sistema consiste nello stabilire quale è la relazione fra ingresso e uscita del sistema quando la sollecitazione applicata e la risposta sono variabili nel tempo. Dal momento che un qualsiasi segnale periodico può essere scomposto in una serie di sinusoidi di frequenze diverse (come da serie di Fourier), se si conosce l'insieme delle risposte a tale segnale alle varie frequenze in ampiezza e fase è possibile ricostruire il segnale d'uscita senza dover effettuare calcoli specifici per ognuno degli infiniti tipi di forme d'onda di ingresso. La risposta in frequenza può essere vista dunque come la scomposizione in frequenza della risposta di un sistema a cui è applicato un segnale composto da infinite frequenze armoniche a diversa frequenza e ampiezza costante e unitaria.

In elettronica e telecomunicazioni la risposta in frequenza è un fattore di grande importanza, che caratterizza numerose applicazioni. Tra le applicazioni più comuni vi sono i filtri elettrici, elettronici o ottici, circuiti in grado di elaborare il segnale privandolo di alcune sue componenti in frequenza, spesso per ripulirlo da disturbi. Sono detti filtri passa basso, passa banda o passa alto grazie alla loro peculiarità di lasciar passare frequenza basse, intermedie o elevate. Nel caso di filtri attivi, la risposta in frequenza si usa per progettare filtri con particolari caratteristiche. Infine, lo studio in frequenza è indispensabile nell'analisi e sintesi degli amplificatori lineari e negli amplificatore a retroazione.

Sistemi lineari e stazionari

Dalla teoria sviluppata nei sistemi lineari e stazionari è noto che in generale:

$u_{out}(t)=\mathbf {Z} u_{in}(t)$

dove $u_{in}$ e $u_{out}$ sono, rispettivamente, la sollecitazione (che nel caso che ci interessa è un segnale di qualsivoglia forma) e la risposta del sistema a tale sollecitazione, mentre l'operatore $\mathbf {Z}$ rappresenta l'insieme delle operazioni che il sistema compie sul segnale di ingresso. Se invece che un operatore qualsiasi il sistema lascia inalterato il segnale di ingresso a meno di un fattore costante si ha:

$u_{out}(t)=\alpha u_{in}(t)\$

dove il fattore costante $\alpha$ è detto autovalore dell'operatore $\mathbf {Z}$ e quindi $u_{in}(t)$ è la relativa autofunzione.

Nei sistemi lineari e stazionari le funzioni armoniche sono le autofunzioni e l'autovalore è la funzione:

$k(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}\cdot h(t)\,dt$

detta funzione di trasferimento. La risposta in frequenza di un sistema lineare e stazionario $f(\omega )=k(i\omega )$ è la trasformata di Fourier della risposta impulsiva. Quindi la risposta impulsiva e quella in frequenza sono una la trasformata dell'altra:

$k(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}\cdot h(t)\,dt$

$h(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }k(i\omega )e^{i\omega t}\,d\omega$

Quindi un sistema lineare e stazionario può essere studiato nel dominio del tempo attraverso la rappresentazione dinamica dei segnali, cioè tramite la risposta all'impulso o al gradino unitario come visto nei sistemi lineari e stazionari, oppure può essere studiato nel dominio della frequenza sulla base della risposta in frequenza.

Sistemi dinamici lineari

Dalla teoria sui sistemi lineari dinamici, $u_{in}(t)$ è un segnale generico in ingresso ad un sistema la sua risposta può essere scritta nel caso più generale:

$a_{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}u_{out}(t)+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}u_{out}(t)+\dots +a_{0}u_{out}(t)=b_{m}{\frac {d^{m}}{dt^{m}}}u_{in}(t)+b_{m-1}{\frac {d^{m-1}}{dt^{m-1}}}u_{in}(t)+\dots +b_{0}u_{in}(t)$

che rappresenta a sua volta il modello AutoRegressivo a Media Mobile (ARMA) del sistema che lega l'ingresso e le sue derivate con le uscite e le sue derivate.

La funzione di trasferimento è data:

$k(i\omega )={\frac {b_{m}(i\omega )^{m}+b_{m-1}(i\omega )^{m-1}+\dots +b_{0}}{a_{n}(i\omega )^{n}+a_{n-1}(i\omega )^{n-1}+\dots +a_{0}}}$

cioè la risposta in frequenza per qualsiasi sistema dinamico lineare è una funzione razionale di $i\omega$ con coefficienti uguali al sistema. La risposta in frequenza di un sistema dinamico lineare può essere eseguita attraverso le risposte del sistema agli impulsi elementari quali la delta di Dirac o la funzione gradino di Heaviside nel dominio del tempo, oppure attraverso le funzioni di rete cioè la funzione di trasferimento o la funzione impedenza e funzione ammettenza nel dominio della frequenza attraverso il metodo simbolico che fa uso della trasformata di Fourier o con il metodo operatoriale che fa uso della trasformata di Laplace.

La Risposta in Frequenza $W(j*w)$ altro non è quindi che la funzione di trasferimento del sistema espressa nel dominio di Fourier della variabile frequenza angolare, ovvero è quella funzione che applicata in modulo e fase ad ingressi di tipo armonico restituisce l'uscita del sistema tramite il teorema della risposta armonica. Tale funzione si ottiene direttamente dalla funzione di trasferimento nella variabile di Laplace sostituendo alla variabile complessa $s=a+jb$ la variabile $jw$, ovvero prendendo la sola parte immaginaria:

$\ W(jw)=F(s)|s=jw$

Analisi nel campo reale

L'analisi nel campo reale si diversifica a seconda che il segnale sia sinusoidale, non sinusoidale o aperiodico.

Segnali periodici sinusoidali

Il comportamento del sistema viene analizzato applicando dei segnali sinusoidali di tutte le frequenze comprese tra zero ed infinito. Nota la risposta del sistema a segnali sinusoidali di frequenza qualsiasi, è possibile risalire alla risposta ad un segnale periodico non sinusoidale. Applicando ad un sistema stabile, con legame tra ingresso ed uscita rappresentato da una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, un segnale sinusoidale $e(t)=E_{m}\sin {\omega t}$, svanito il periodo transitorio, il segnale d'uscita risulta sinusoidale, della stessa frequenza di quello d'ingresso e del tipo $u(t)=U_{m}\sin {(\omega t+\phi )}$. L'ampiezza $U_{m}$ e lo sfasamento $\phi$, sono generalmente, funzioni della frequenza: $U_{m}(\omega )$, $\phi (\omega )$. La risposta in uscita del sistema è della stessa forma del segnale d'entrata, della stessa frequenza e vi si differenzia nell'ampiezza e nella fase. Il rapporto delle ampiezze è detto guadagno, il cui valore è funzione della frequenza d'eccitazione.

Segnali periodici non sinusoidali

La determinazione della risposta ad un segnale periodico di forma qualsiasi è assicurata dallo sviluppo in serie di Fourier del segnale medesimo:

$e(t)=A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(A_{n}\cos {\omega _{0}nt}+B_{n}\sin {\omega _{0}nt})$

Le seguenti espressioni forniscono i valori di $A_{0}$, $A_{n}$ e $B_{n}$:

$A_{0}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{e(t)dt}$

$A_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}{e(t)\cos {n\omega _{0}tdt}}$

$B_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}{e(t)\sin {n\omega _{0}tdt}}$

Segnali aperiodici

Nello studio dei sistemi dinamici e delle equazioni differenziali che li descrivono, spesso si fa ricorso a segnali di una particolare famiglia di funzioni. Di questa famiglia le tre funzioni più usate sono la funzione scalino unitario, la funzione impulso unitario, la funzione rampa unitaria. Il problema è risolto facendo ricorso all'integrale di Fourier (antitrasformata di Fourier):

$f(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\omega _{n})e^{j\omega _{n}t}d\omega _{n}$

Qualsiasi grandezza variabile in funzione del tempo può scriversi quindi nella suddetta forma.

Analisi nel campo complesso

L'analisi nel campo complesso è realizzata mediante l'utilizzo della trasformata di Laplace, che rende possibile il superamento delle difficoltà operazionali connaturali all'analisi nel dominio dei numeri reali.

La trasformata di Laplace è una operazione che si esegue sulle funzioni di variabile reale per trasformarle in funzioni di variabile complessa. Tale trasformazione conduce a notevoli semplificazioni nei calcoli, in quanto, a operazioni di natura infinitesimale corrispondono nelle funzioni trasformate a operazioni di tipo algebrico. Eseguite le operazioni su queste ultime, si procede al recupero della funzione nel campo reale attraverso opportuna antitrasformazione. Entrambe le operazioni vengono normalmente eseguite con l'aiuto di apposite tabelle, data la corrispondenza biunivoca fra una funzione e la sua trasformata di Laplace. La trasformata di Laplace L[f(t)] di una f(t) risulta definibile come segue:

$L[f(t)]=F(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Per affrontare l'analisi di un sistema dinamico è necessario disporre di una descrizione matematica del comportamento del sistema stesso, cioè di disporre del suo modello matematico: sistemi analoghi sono quelli che sono descritti dallo stesso modello matematico. È evidente che i modelli risulteranno differenziati nei loro parametri, le cui dimensioni e valori dipendono dalla natura del sistema e delle unità costituenti. L'analisi del sistema si adempie tramite l'analisi della soluzione di una equazione differenziale che risulta agevolata dall'impiego della trasformata di Laplace. L'analisi transitoria del comportamento di un circuito elettrico, costituito da una resistenza ed una induttanza in serie si concretizza come segue:

$L{\frac {di}{dt}}+Ri=E$

di cui la trasformata è:

$L[si(s)-i(0+)]+Ri(s)={\frac {E}{s}}$

Risolvendo per $i(s)$, posto $i(0+)=0$, risulta:

$i(s)={\frac {E}{s(sL+R)}}$

la cui antitrasformata è:

$i={\frac {E}{R}}(1-e^{-{\frac {Rt}{L}}})$

Teorema della Risposta armonica

Il teorema della Risposta armonica afferma che un sistema lineare e stazionario, sollecitato da un ingresso sinuisoidale di pulsazione $\omega$:

$\ x(t)=A\sin(\omega t)=A\sin(2\pi ft)$

se asintoticamente stabile presenta a regime una risposta sinusoidale avente la stessa frequenza dell'eccitazione con ampiezza pari al modulo della risposta in frequenza e differenza di fase pari alla fase della risposta in frequenza:

$\ y(t)=|G(j\omega )|A\sin(2\pi ft+\angle G(j\omega ))$

dove $\ \angle G(j\omega )$ è la fase.

Dimostrazione

La trasformata di Laplace del segnale di ingresso $\ x(t)=A\sin(\omega t)$ è:

$\ X(s)={\frac {A\omega }{(s^{2}+\omega ^{2})}}$

mentre l'uscita, a partire da uno stato nullo, ammette una trasformata del tipo:

$\ Y(s)=G(s)X(s)=G(s){\frac {A\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}=G(s){\frac {A\omega }{(s-j\omega )(s+j\omega )}}$

I poli sono gli stessi della funzione di trasferimento più quelli corrispondenti al segnale in ingresso. Si nota antitrasformando che i primi corrispondono ad un termine transitorio $y_{0}(t)$ mentre i secondi ad un termine permanente $y_{p}(t)$ che, come si verificherà, è sinusoidale. Pertanto, la risposta si può scrivere come:

$\ y(t)=y_{0}(t)+y_{p}(t)=y_{0}(t)+K_{1}e^{j\omega t}+K_{2}e^{-j\omega t}$

In cui $K_{1}$ e $K_{2}$ sono i residui dei poli $p_{1},p_{2}$ relativi al segnale di ingresso:

$\ K_{1}=\left[{\frac {G(s)A\omega }{s+j\omega }}\right]_{s=j\omega }={\frac {A}{2j}}G(j\omega )$

$K_{2}=\left[{\frac {G(s)A\omega }{s-j\omega }}\right]_{s=-j\omega }=-{\frac {A}{2j}}G(-j\omega )$

La trasformata di Laplace soddisfa la relazione $\ F(s^{*})=F^{*}(s)$ pertanto si può scrivere:

$G(j\omega )=|G(j\omega )|e^{j\varphi (\omega )}\qquad G(-j\omega )=|G(j\omega )|e^{-j\varphi (\omega )}$

in cui si è posto $\varphi (\omega )=\angle (G(j\omega ))$. Una volta esaurito il transitorio si ottiene:

$y(t)\cong y_{p}(t)=|G(j\omega )|A{\frac {e^{j(\omega t+\varphi (\omega ))}-e^{-j(\omega t+\varphi (\omega ))}}{2j}}=|G(j\omega )|A\sin(\omega t+\varphi (\omega ))$

Pertanto il teorema è dimostrato.

Bibliografia

• (EN) Luther, Arch C.; Inglis, Andrew F. Video engineering, McGraw-Hill, 1999. ISBN 0-07-135017-9
• (EN) Stark, Scott Hunter. Live Sound Reinforcement, Vallejo, California, Artistpro.com, 1996–2002. ISBN 0-918371-07-4
• (EN) Billings S.A. "Nonlinear System Identification: NARMAX Methods in the Time, Frequency, and Spatio-Temporal Domains". Wiley, 2013

Voci correlate

• Rappresentazione dinamica dei segnali
• Rappresentazione spettrale dei segnali
• Sistemi lineari e stazionari
• Regime sinusoidale
• Sistemi lineari dinamici
• Funzione di trasferimento
• Funzione di rete
• Diagramma di Bode