Fattore primo: differenze tra le versioni
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Due interi positivi sono [[Coprimo|coprimi]] se e solo se non hanno fattori primi in comune. L'intero <math>1</math> è comprimo ad ogni intero positivo, compreso sé stesso. Questo poiché non ha fattori primi; è il [[prodotto vuoto]]. |
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La [[fattorizzazione]] prima di un intero positivo è la lista dei suoi fattori primi, insieme con la massima potenza di ogni primo che divide esattamente l'intero. Il [[teorema fondamentale dell'aritmetica]] dice che ogni intero positivo ha una fattorizzazione prima unica. |
La [[fattorizzazione]] prima di un intero positivo è la lista dei suoi fattori primi, insieme con la massima potenza di ogni primo che divide esattamente l'intero. Il [[teorema fondamentale dell'aritmetica]] dice che ogni intero positivo ha una fattorizzazione prima unica. |
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== Funzioni omega == |
== Funzioni omega == |
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La funzione |
La funzione <math>\omega(n)</math> conta il numero di fattori primi distinti di <math>n</math> mentre <math>\Omega(n)</math> conta il numero complessivo di fattori primi di <math>n</math>, cioè conta il numero di divisori primi di <math>n</math> contati con la loro molteplicità<ref>{{OEIS|A001222}}</ref>: |
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:<math>n = \prod_{i=1}^{\omega(n)} p_i^{\alpha_i}</math> |
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:<math>\Omega(n) = \sum_{i=1}^{\omega(n)} \alpha_i</math> |
:<math>\Omega(n) = \sum_{i=1}^{\omega(n)} \alpha_i.</math> |
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Ω(''n'') è il numero di divisori primi di ''n'', contati nella loro molteplicità<ref>{{OEIS|A001222}}</ref>. |
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Se |
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<math>n = \prod_{i=1}^m p_i^{\gamma_i}</math> |
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allora |
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<math>\Omega (n) = \sum_{i=1}^m \gamma_i</math>. |
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Esempio: |
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<math>24=2^3\cdot3^1</math> |
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segue |
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<math>\Omega(24)=3+1=4</math> |
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== Esempi == |
== Esempi == |
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* I fattori primi di 6 sono 2 e 3 (6 = 3 |
* I fattori primi di <math>6</math> sono <math>2</math> e <math>3</math> (poiché <math>6 = 3 \cdot 2</math>). |
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* 5 ha solo un fattore primo: sé stesso (5 è primo) |
* Il numero <math>5</math> ha solo un fattore primo: sé stesso (<math>5</math> è primo). |
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* 100 ha due fattori primi: 2 e 5 |
* Il numero <math>100</math> ha due fattori primi: <math>2</math> e <math>5</math> (infatti <math>100 = 2^2 \cdot 5^2</math>). |
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* 2, 4, 8, 16, ecc. hanno ognuno un solo fattore primo: |
* Le [[Potenza di due|potenze di due]] <math>2, 4, 8, 16,</math> ecc. hanno ognuno un solo fattore primo: <math>2</math>. |
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* 1 non ha fattori primi (1 |
* Il numero <math>1</math> non ha fattori primi (infatti <math>1</math> corrisponde al [[prodotto vuoto]]). |
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* Poiché <math>24=2^3 \cdot 3^1</math> segue che <math>\omega(24)=2</math> e <math>\Omega(24)=3+1=4</math>. |
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* ω(1701)=2 e Ω(3528)=7 |
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* Poiché <math>1701=3^5 \cdot 7^1</math> segue che <math>\omega(1701)=2</math> e <math>\Omega(1701)=6</math>. |
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* Poiché <math>3528=2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^2</math> segue che <math>\omega(3528)=3</math> e <math>\Omega(3528)=7</math>. |
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==Note== |
==Note== |
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Versione delle 21:43, 30 mar 2014
In teoria dei numeri, i fattori primi di un intero positivo sono i numeri primi che lo dividono esattamente, cioè senza resto.
Due interi positivi sono coprimi se e solo se non hanno fattori primi in comune. L'intero è comprimo ad ogni intero positivo, compreso sé stesso. Questo poiché non ha fattori primi; è il prodotto vuoto.
La fattorizzazione prima di un intero positivo è la lista dei suoi fattori primi, insieme con la massima potenza di ogni primo che divide esattamente l'intero. Il teorema fondamentale dell'aritmetica dice che ogni intero positivo ha una fattorizzazione prima unica.
Funzioni omega
La funzione conta il numero di fattori primi distinti di mentre conta il numero complessivo di fattori primi di , cioè conta il numero di divisori primi di contati con la loro molteplicità[1]:
La funzione è un esempio di funzioni aritmetica additiva ma non completamente additiva.
In generale è dato dal prodotto di numeri (non necessariamente distinti).
Esempi
- I fattori primi di sono e (poiché ).
- Il numero ha solo un fattore primo: sé stesso ( è primo).
- Il numero ha due fattori primi: e (infatti ).
- Le potenze di due ecc. hanno ognuno un solo fattore primo: .
- Il numero non ha fattori primi (infatti corrisponde al prodotto vuoto).
- Poiché segue che e .
- Poiché segue che e .
- Poiché segue che e .
Note
- ^ (EN) Sequenza A001222, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
